Analysis Beispiele

$\int \ln (\sqrt{x}) d x$

Schritt 1

Das Integral konnte nicht mittels Substitution gelöst werden. Mathway wird eine andere Methode benutzen.

Schritt 2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int \ln (x^{\frac{1}{2}}) d x$

Schritt 3

Schreibe $\ln (x^{\frac{1}{2}})$ als $\frac{1}{2} \ln (x)$ um.

$\int \frac{1}{2} \ln (x) d x$

Schritt 4

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int \ln (x) d x$

Schritt 5

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = \ln (x)$ und $d v = 1$ .

$\frac{1}{2} (\ln (x) x - \int x \frac{1}{x} d x)$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{2} (\ln (x) x - \int \frac{x}{x} d x)$

Schritt 6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2} (\ln (x) x - \int \frac{x}{x} d x)$

Schritt 6.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2} (\ln (x) x - \int d x)$

Schritt 7

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{2} (\ln (x) x - (x + C))$

Schritt 8

Vereinfache.

$\frac{1}{2} (\ln (x) x - x) + C$