Analysis Beispiele

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos (θ)}{\sqrt{1 + \sin (θ)}} d θ$

Schritt 1

Sei $u = 1 + \sin (θ)$ . Dann ist $d u = \cos (θ) d θ$ , folglich $\frac{1}{\cos (θ)} d u = d θ$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = 1 + \sin (θ)$ . Ermittle $\frac{d u}{d θ}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $1 + \sin (θ)$ .

$\frac{d}{d θ} [1 + \sin (θ)]$

Schritt 1.1.2

Differenziere.

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Schritt 1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + \sin (θ)$ nach $θ$ $\frac{d}{d θ} [1] + \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]$ .

$\frac{d}{d θ} [1] + \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]$

Schritt 1.1.2.2

Da $1$ konstant bezüglich $θ$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $θ$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]$

Schritt 1.1.3

Die Ableitung von $\sin (θ)$ nach $θ$ ist $\cos (θ)$ .

$0 + \cos (θ)$

Schritt 1.1.4

Addiere $0$ und $\cos (θ)$ .

$\cos (θ)$

Schritt 1.2

Setze die untere Grenze für $θ$ in $u = 1 + \sin (θ)$ ein.

$u_{lower} = 1 + \sin (0)$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Schritt 1.3.2

Addiere $1$ und $0$ .

$u_{lower} = 1$

Schritt 1.4

Setze die obere Grenze für $θ$ in $u = 1 + \sin (θ)$ ein.

$u_{upper} = 1 + \sin (\frac{π}{2})$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$u_{upper} = 1 + 1$

Schritt 1.5.2

Addiere $1$ und $1$ .

$u_{upper} = 2$

Schritt 1.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

Schritt 1.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{1}^{2} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Schritt 2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u}$ als $u^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int_{1}^{2} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Schritt 2.2

Bringe $u^{\frac{1}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int_{1}^{2} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Schritt 2.3

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{1}^{2} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Schritt 2.3.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$\int_{1}^{2} u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Schritt 2.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int_{1}^{2} u^{- \frac{1}{2}} d u$

Schritt 3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{- \frac{1}{2}}$ nach $u$ gleich $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$2 u^{\frac{1}{2}}]_{1}^{2}$

Schritt 4

Berechne $2 u^{\frac{1}{2}}$ bei $2$ und $1$ .

$(2 \cdot 2^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}$

Schritt 5

Multipliziere $2$ mit $2^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.1

Mutltipliziere $2$ mit $2^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 5.1.1

Potenziere $2$ mit $1$ .

$2^{1} \cdot 2^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}$

Schritt 5.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2^{1 + \frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}$

Schritt 5.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$2^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}$

Schritt 5.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2^{\frac{2 + 1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}$

Schritt 5.4

Addiere $2$ und $1$ .

$2^{\frac{3}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}$

Schritt 6

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$2^{\frac{3}{2}} - 2 \cdot 1$

Schritt 7

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$2^{\frac{3}{2}} - 2$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$2^{\frac{3}{2}} - 2$

Dezimalform:

$0.82842712 \dots$