Analysis Beispiele

$\int \frac{2 x}{{(1 - x^{2})}^{3}} d x$

Schritt 1

Sei $u = 1 - x^{2}$ . Dann ist $d u = - 2 x d x$ , folglich $\frac{1}{- 2 x} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = 1 - x^{2}$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $1 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Schritt 1.1.2

Differenziere.

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Schritt 1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 1.1.2.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$0 - (2 x)$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$0 - 2 x$

Schritt 1.1.4

Subtrahiere $2 x$ von $0$ .

$- 2 x$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \frac{- 1}{u^{3}} d u$

Schritt 2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int - \frac{1}{u^{3}} d u$

Schritt 3

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int \frac{1}{u^{3}} d u$

Schritt 4

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 4.1

Bringe $u^{3}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$- \int {(u^{3})}^{- 1} d u$

Schritt 4.2

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{3})}^{- 1}$ .

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Schritt 4.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \int u^{3 \cdot - 1} d u$

Schritt 4.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$- \int u^{- 3} d u$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{- 3}$ nach $u$ gleich $- \frac{1}{2} u^{- 2}$ .

$- (- \frac{1}{2} u^{- 2} + C)$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Vereinfache.

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Schritt 6.1.1

Kombiniere $u^{- 2}$ und $\frac{1}{2}$ .

$- (- \frac{u^{- 2}}{2} + C)$

Schritt 6.1.2

Bringe $u^{- 2}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- (- \frac{1}{2 u^{2}} + C)$

Schritt 6.2

Vereinfache.

$- - \frac{1}{2 u^{2}} + C$

Schritt 6.3

Vereinfache.

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Schritt 6.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 \frac{1}{2 u^{2}} + C$

Schritt 6.3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{2 u^{2}}$ mit $1$ .

$\frac{1}{2 u^{2}} + C$

Schritt 7

Ersetze alle $u$ durch $1 - x^{2}$ .

$\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{2}} + C$