Analysis Beispiele

$\int (7 x + e^{4 x}) d x$

Schritt 1

Sei $u = 4 x$ . Dann ist $d u = 4 d x$ , folglich $\frac{1}{4} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = 4 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x]$

Schritt 1.1.2

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Schritt 1.1.4

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$4$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int (7 \frac{u}{4} + e^{u}) \frac{1}{4} d u$

Schritt 2

Kombiniere $7$ und $\frac{u}{4}$ .

$\int (\frac{7 u}{4} + e^{u}) \frac{1}{4} d u$

Schritt 3

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{4}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{4} \int \frac{7 u}{4} + e^{u} d u$

Schritt 4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\frac{1}{4} (\int \frac{7 u}{4} d u + \int e^{u} d u)$

Schritt 5

Da $\frac{7}{4}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{7}{4}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{4} (\frac{7}{4} \int u d u + \int e^{u} d u)$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u$ nach $u$ gleich $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{7}{4} (\frac{1}{2} u^{2} + C) + \int e^{u} d u)$

Schritt 7

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{7}{4} (\frac{1}{2} u^{2} + C) + e^{u} + C)$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Vereinfache.

$\frac{1}{4} (\frac{7 u^{2}}{8} + e^{u}) + C$

Schritt 8.2

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{4} (\frac{7}{8} u^{2} + e^{u}) + C$

Schritt 9

Ersetze alle $u$ durch $4 x$ .

$\frac{1}{4} (\frac{7}{8} {(4 x)}^{2} + e^{4 x}) + C$

Schritt 10

Vereinfache.

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Schritt 10.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.1.1

Wende die Produktregel auf $4 x$ an.

$\frac{1}{4} (\frac{7}{8} (4^{2} x^{2}) + e^{4 x}) + C$

Schritt 10.1.2

Potenziere $4$ mit $2$ .

$\frac{1}{4} (\frac{7}{8} (16 x^{2}) + e^{4 x}) + C$

Schritt 10.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 10.1.3.1

Faktorisiere $8$ aus $16 x^{2}$ heraus.

$\frac{1}{4} (\frac{7}{8} (8 (2 x^{2})) + e^{4 x}) + C$

Schritt 10.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{4} (\frac{7}{8} (8 (2 x^{2})) + e^{4 x}) + C$

Schritt 10.1.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{4} (7 (2 x^{2}) + e^{4 x}) + C$

Schritt 10.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $7$ .

$\frac{1}{4} (14 x^{2} + e^{4 x}) + C$

Schritt 10.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{4} (14 x^{2}) + \frac{1}{4} e^{4 x} + C$

Schritt 10.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 10.3.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{1}{2 (2)} (14 x^{2}) + \frac{1}{4} e^{4 x} + C$

Schritt 10.3.2

Faktorisiere $2$ aus $14 x^{2}$ heraus.

$\frac{1}{2 (2)} (2 (7 x^{2})) + \frac{1}{4} e^{4 x} + C$

Schritt 10.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2 \cdot 2} (2 (7 x^{2})) + \frac{1}{4} e^{4 x} + C$

Schritt 10.3.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2} (7 x^{2}) + \frac{1}{4} e^{4 x} + C$

Schritt 10.4

Kombiniere $7$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{7}{2} x^{2} + \frac{1}{4} e^{4 x} + C$

Schritt 10.5

Kombiniere $\frac{7}{2}$ und $x^{2}$ .

$\frac{7 x^{2}}{2} + \frac{1}{4} e^{4 x} + C$

Schritt 10.6

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $e^{4 x}$ .

$\frac{7 x^{2}}{2} + \frac{e^{4 x}}{4} + C$

Schritt 11

Stelle die Terme um.

$\frac{7}{2} x^{2} + \frac{1}{4} e^{4 x} + C$