Analysis Beispiele

$\int \frac{2 x^{3} - 2}{(x^{4} - 4 x)} d x$

Schritt 1

Schreibe den Bruch mithilfe der Teilbruchzerlegung.

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Schritt 1.1

Zerlege den Bruch und multipliziere mit dem gemeinsamen Nenner durch.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere den Bruch.

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Schritt 1.1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{3} - 2$ heraus.

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Schritt 1.1.1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{3}$ heraus.

$\frac{2 (x^{3}) - 2}{x^{4} - 4 x}$

Schritt 1.1.1.1.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$\frac{2 (x^{3}) + 2 (- 1)}{x^{4} - 4 x}$

Schritt 1.1.1.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (x^{3}) + 2 (- 1)$ heraus.

$\frac{2 (x^{3} - 1)}{x^{4} - 4 x}$

Schritt 1.1.1.2

Schreibe $1$ als $1^{3}$ um.

$\frac{2 (x^{3} - 1^{3})}{x^{4} - 4 x}$

Schritt 1.1.1.3

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$\frac{2 ((x - 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1^{2}))}{x^{4} - 4 x}$

Schritt 1.1.1.4

Faktorisiere.

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Schritt 1.1.1.4.1

Vereinfache.

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Schritt 1.1.1.4.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{2 ((x - 1) (x^{2} + x + 1^{2}))}{x^{4} - 4 x}$

Schritt 1.1.1.4.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{2 ((x - 1) (x^{2} + x + 1))}{x^{4} - 4 x}$

Schritt 1.1.1.4.2

Entferne unnötige Klammern.

$\frac{2 (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{4} - 4 x}$

Schritt 1.1.1.5

Faktorisiere $x$ aus $x^{4} - 4 x$ heraus.

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Schritt 1.1.1.5.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{4}$ heraus.

$\frac{2 (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x \cdot x^{3} - 4 x}$

Schritt 1.1.1.5.2

Faktorisiere $x$ aus $- 4 x$ heraus.

$\frac{2 (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x \cdot x^{3} + x \cdot - 4}$

Schritt 1.1.1.5.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x^{3} + x \cdot - 4$ heraus.

$\frac{2 (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x (x^{3} - 4)}$

Schritt 1.1.2

Erzeuge für jeden Faktor im Nenner einen neuen Bruch mit dem Faktor als Nenner und einem unbekannten Wert für den Zähler. Da der Faktor in der dritten Potenz auftritt, sind $3$ Terme im Zähler erforderlich. Die Zahl der erforderlichen Terme im Zähler ist immer gleich der Potenz des Faktors im Nenner.

$\frac{A}{x} + \frac{B x^{2} + C x + D}{x^{3} - 4}$

Schritt 1.1.3

Multipliziere jeden Bruch in der Gleichung mit dem Nenner des ursprünglichen Ausdrucks. In diesem Fall ist der Nenner gleich $x (x^{3} - 4)$ .

$\frac{2 (x - 1) (x^{2} + x + 1) (x (x^{3} - 4))}{x (x^{3} - 4)} = \frac{A (x (x^{3} - 4))}{x} + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

Schritt 1.1.4

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 1.1.4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (x - 1) (x^{2} + x + 1) (x (x^{3} - 4))}{x (x^{3} - 4)} = \frac{A (x (x^{3} - 4))}{x} + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

Schritt 1.1.4.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 (x - 1) (x^{2} + x + 1) (x^{3} - 4)}{x^{3} - 4} = \frac{A (x (x^{3} - 4))}{x} + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

Schritt 1.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{3} - 4$ .

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Schritt 1.1.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (x - 1) (x^{2} + x + 1) (x^{3} - 4)}{x^{3} - 4} = \frac{A (x (x^{3} - 4))}{x} + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

Schritt 1.1.4.2.2

Dividiere $2 (x - 1) (x^{2} + x + 1)$ durch $1$ .

$2 (x - 1) (x^{2} + x + 1) = \frac{A (x (x^{3} - 4))}{x} + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

Schritt 1.1.4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$(2 x + 2 \cdot - 1) (x^{2} + x + 1) = \frac{A (x (x^{3} - 4))}{x} + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

Schritt 1.1.4.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$(2 x - 2) (x^{2} + x + 1) = \frac{A (x (x^{3} - 4))}{x} + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

Schritt 1.1.5

Multipliziere $(2 x - 2) (x^{2} + x + 1)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$2 x \cdot x^{2} + 2 x \cdot x + 2 x \cdot 1 - 2 x^{2} - 2 x - 2 \cdot 1 = \frac{A (x (x^{3} - 4))}{x} + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

Schritt 1.1.6

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.1.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.6.1.1

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.6.1.1.1

Bewege $x^{2}$ .

$2 (x^{2} x) + 2 x \cdot x + 2 x \cdot 1 - 2 x^{2} - 2 x - 2 \cdot 1 = \frac{A (x (x^{3} - 4))}{x} + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

Schritt 1.1.6.1.1.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 1.1.6.1.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$2 (x^{2} x) + 2 x \cdot x + 2 x \cdot 1 - 2 x^{2} - 2 x - 2 \cdot 1 = \frac{A (x (x^{3} - 4))}{x} + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

Schritt 1.1.6.1.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 x^{2 + 1} + 2 x \cdot x + 2 x \cdot 1 - 2 x^{2} - 2 x - 2 \cdot 1 = \frac{A (x (x^{3} - 4))}{x} + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

Schritt 1.1.6.1.1.3

Addiere $2$ und $1$ .

$2 x^{3} + 2 x \cdot x + 2 x \cdot 1 - 2 x^{2} - 2 x - 2 \cdot 1 = \frac{A (x (x^{3} - 4))}{x} + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

Schritt 1.1.6.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.6.1.2.1

Bewege $x$ .

$2 x^{3} + 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot 1 - 2 x^{2} - 2 x - 2 \cdot 1 = \frac{A (x (x^{3} - 4))}{x} + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

Schritt 1.1.6.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x \cdot 1 - 2 x^{2} - 2 x - 2 \cdot 1 = \frac{A (x (x^{3} - 4))}{x} + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

Schritt 1.1.6.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - 2 x^{2} - 2 x - 2 \cdot 1 = \frac{A (x (x^{3} - 4))}{x} + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

Schritt 1.1.6.1.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - 2 x^{2} - 2 x - 2 = \frac{A (x (x^{3} - 4))}{x} + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

Schritt 1.1.6.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - 2 x^{2} - 2 x - 2$ .

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Schritt 1.1.6.2.1

Subtrahiere $2 x^{2}$ von $2 x^{2}$ .

$2 x^{3} + 2 x + 0 - 2 x - 2 = \frac{A (x (x^{3} - 4))}{x} + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

Schritt 1.1.6.2.2

Addiere $2 x^{3} + 2 x$ und $0$ .

$2 x^{3} + 2 x - 2 x - 2 = \frac{A (x (x^{3} - 4))}{x} + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

Schritt 1.1.6.2.3

Subtrahiere $2 x$ von $2 x$ .

$2 x^{3} + 0 - 2 = \frac{A (x (x^{3} - 4))}{x} + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

Schritt 1.1.6.2.4

Addiere $2 x^{3}$ und $0$ .

$2 x^{3} - 2 = \frac{A (x (x^{3} - 4))}{x} + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

Schritt 1.1.7

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 1.1.7.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 x^{3} - 2 = \frac{A (x (x^{3} - 4))}{x} + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

Schritt 1.1.7.1.2

Dividiere $A (x^{3} - 4)$ durch $1$ .

$2 x^{3} - 2 = A (x^{3} - 4) + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

Schritt 1.1.7.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x^{3} - 2 = A x^{3} + A \cdot - 4 + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

Schritt 1.1.7.3

Bringe $- 4$ auf die linke Seite von $A$ .

$2 x^{3} - 2 = A x^{3} - 4 \cdot A + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

Schritt 1.1.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{3} - 4$ .

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Schritt 1.1.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 x^{3} - 2 = A x^{3} - 4 A + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

Schritt 1.1.7.4.2

Dividiere $(B x^{2} + C x + D) (x)$ durch $1$ .

$2 x^{3} - 2 = A x^{3} - 4 A + (B x^{2} + C x + D) (x)$

Schritt 1.1.7.5

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x^{3} - 2 = A x^{3} - 4 A + B x^{2} x + C x \cdot x + D x$

Schritt 1.1.7.6

Vereinfache.

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Schritt 1.1.7.6.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.7.6.1.1

Bewege $x$ .

$2 x^{3} - 2 = A x^{3} - 4 A + B (x \cdot x^{2}) + C x \cdot x + D x$

Schritt 1.1.7.6.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 1.1.7.6.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$2 x^{3} - 2 = A x^{3} - 4 A + B (x \cdot x^{2}) + C x \cdot x + D x$

Schritt 1.1.7.6.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 x^{3} - 2 = A x^{3} - 4 A + B x^{1 + 2} + C x \cdot x + D x$

Schritt 1.1.7.6.1.3

Addiere $1$ und $2$ .

$2 x^{3} - 2 = A x^{3} - 4 A + B x^{3} + C x \cdot x + D x$

Schritt 1.1.7.6.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.7.6.2.1

Bewege $x$ .

$2 x^{3} - 2 = A x^{3} - 4 A + B x^{3} + C (x \cdot x) + D x$

Schritt 1.1.7.6.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$2 x^{3} - 2 = A x^{3} - 4 A + B x^{3} + C x^{2} + D x$

Schritt 1.1.8

Bewege $- 4 A$ .

$2 x^{3} - 2 = A x^{3} + B x^{3} + C x^{2} + D x - 4 A$

Schritt 1.2

Schreibe Gleichungen für die Teilbruchvariablen und benutze sie, um ein Gleichungssystem aufzustellen.

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Schritt 1.2.1

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten von $x^{3}$ jeder Seite der Gleichung. Damit die Gleichung gilt, müssen äquivalente Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$2 = A + B$

Schritt 1.2.2

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten von $x^{2}$ jeder Seite der Gleichung. Damit die Gleichung gilt, müssen äquivalente Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$0 = C$

Schritt 1.2.3

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten von $x$ jeder Seite der Gleichung. Damit die Gleichung gilt, müssen äquivalente Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$0 = D$

Schritt 1.2.4

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten der Terme, die $x$ nicht enthalten. Damit die Gleichung gilt, müssen die äquivalenten Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$- 2 = - 4 A$

Schritt 1.2.5

Stelle das Gleichungssystem auf, um die Koeffizienten der Partialbrüche zu ermitteln.

$2 = A + B$

$0 = C$

$0 = D$

$- 2 = - 4 A$

$2 = A + B$

$0 = C$

$0 = D$

$- 2 = - 4 A$

Schritt 1.3

Löse das Gleichungssystem.

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Schritt 1.3.1

Schreibe die Gleichung als $C = 0$ um.

$C = 0$

$2 = A + B$

$0 = D$

$- 2 = - 4 A$

Schritt 1.3.2

Ersetze alle Vorkommen von $C$ durch $0$ in jeder Gleichung.

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Schritt 1.3.2.1

Schreibe die Gleichung als $D = 0$ um.

$D = 0$

$C = 0$

$2 = A + B$

$- 2 = - 4 A$

Schritt 1.3.2.2

Schreibe die Gleichung als $- 4 A = - 2$ um.

$- 4 A = - 2$

$D = 0$

$C = 0$

$2 = A + B$

Schritt 1.3.2.3

Teile jeden Ausdruck in $- 4 A = - 2$ durch $- 4$ und vereinfache.

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Schritt 1.3.2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- 4 A = - 2$ durch $- 4$ .

$\frac{- 4 A}{- 4} = \frac{- 2}{- 4}$

$D = 0$

$C = 0$

$2 = A + B$

Schritt 1.3.2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.3.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 4$ .

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Schritt 1.3.2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 4 A}{- 4} = \frac{- 2}{- 4}$

$D = 0$

$C = 0$

$2 = A + B$

Schritt 1.3.2.3.2.1.2

Dividiere $A$ durch $1$ .

$A = \frac{- 2}{- 4}$

$D = 0$

$C = 0$

$2 = A + B$

$A = \frac{- 2}{- 4}$

$D = 0$

$C = 0$

$2 = A + B$

$A = \frac{- 2}{- 4}$

$D = 0$

$C = 0$

$2 = A + B$

Schritt 1.3.2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.3.2.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $- 4$ .

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Schritt 1.3.2.3.3.1.1

Faktorisiere $- 2$ aus $- 2$ heraus.

$A = \frac{- 2 \cdot 1}{- 4}$

$D = 0$

$C = 0$

$2 = A + B$

Schritt 1.3.2.3.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.3.2.3.3.1.2.1

Faktorisiere $- 2$ aus $- 4$ heraus.

$A = \frac{- 2 \cdot 1}{- 2 \cdot 2}$

$D = 0$

$C = 0$

$2 = A + B$

Schritt 1.3.2.3.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$A = \frac{- 2 \cdot 1}{- 2 \cdot 2}$

$D = 0$

$C = 0$

$2 = A + B$

Schritt 1.3.2.3.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$A = \frac{1}{2}$

$D = 0$

$C = 0$

$2 = A + B$

$A = \frac{1}{2}$

$D = 0$

$C = 0$

$2 = A + B$

$A = \frac{1}{2}$

$D = 0$

$C = 0$

$2 = A + B$

$A = \frac{1}{2}$

$D = 0$

$C = 0$

$2 = A + B$

$A = \frac{1}{2}$

$D = 0$

$C = 0$

$2 = A + B$

$A = \frac{1}{2}$

$D = 0$

$C = 0$

$2 = A + B$

Schritt 1.3.3

Ersetze alle Vorkommen von $A$ durch $\frac{1}{2}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 1.3.3.1

Ersetze alle $A$ in $2 = A + B$ durch $\frac{1}{2}$ .

$2 = (\frac{1}{2}) + B$

$A = \frac{1}{2}$

$D = 0$

$C = 0$

Schritt 1.3.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.3.3.2.1

Entferne die Klammern.

$2 = \frac{1}{2} + B$

$A = \frac{1}{2}$

$D = 0$

$C = 0$

$2 = \frac{1}{2} + B$

$A = \frac{1}{2}$

$D = 0$

$C = 0$

$2 = \frac{1}{2} + B$

$A = \frac{1}{2}$

$D = 0$

$C = 0$

Schritt 1.3.4

Löse in $2 = \frac{1}{2} + B$ nach $B$ auf.

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Schritt 1.3.4.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{1}{2} + B = 2$ um.

$\frac{1}{2} + B = 2$

$A = \frac{1}{2}$

$D = 0$

$C = 0$

Schritt 1.3.4.2

Bringe alle Terme, die nicht $B$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.3.4.2.1

Subtrahiere $\frac{1}{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$B = 2 - \frac{1}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

$D = 0$

$C = 0$

Schritt 1.3.4.2.2

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$B = 2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

$D = 0$

$C = 0$

Schritt 1.3.4.2.3

Kombiniere $2$ und $\frac{2}{2}$ .

$B = \frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

$D = 0$

$C = 0$

Schritt 1.3.4.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$B = \frac{2 \cdot 2 - 1}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

$D = 0$

$C = 0$

Schritt 1.3.4.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.3.4.2.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$B = \frac{4 - 1}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

$D = 0$

$C = 0$

Schritt 1.3.4.2.5.2

Subtrahiere $1$ von $4$ .

$B = \frac{3}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

$D = 0$

$C = 0$

$B = \frac{3}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

$D = 0$

$C = 0$

$B = \frac{3}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

$D = 0$

$C = 0$

$B = \frac{3}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

$D = 0$

$C = 0$

Schritt 1.3.5

Löse das Gleichungssystem.

$B = \frac{3}{2} A = \frac{1}{2} D = 0 C = 0$

Schritt 1.3.6

Liste alle Lösungen auf.

$B = \frac{3}{2}, A = \frac{1}{2}, D = 0, C = 0$

Schritt 1.4

Ersetze jeden der Teilbruchkoeffizienten in $\frac{A}{x} + \frac{B x^{2} + C x + D}{x^{3} - 4}$ durch die Werte, die für $A$ , $B$ , $C$ und $D$ ermittelt wurden.

$\frac{\frac{1}{2}}{x} + \frac{\frac{3}{2 x^{2}} + 0 x + 0}{x^{3} - 4}$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.5.1.1

Addiere $\frac{3}{2} x^{2} + 0 \cdot x$ und $0$ .

$\frac{\frac{1}{2}}{x} + \frac{\frac{3}{2} x^{2} + 0 \cdot x}{x^{3} - 4}$

Schritt 1.5.1.2

Faktorisiere $x$ aus $\frac{3}{2} x^{2} + 0 \cdot x$ heraus.

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Schritt 1.5.1.2.1

Faktorisiere $x$ aus $\frac{3}{2} x^{2}$ heraus.

$\frac{\frac{1}{2}}{x} + \frac{x (\frac{3}{2} x) + 0 \cdot x}{x^{3} - 4}$

Schritt 1.5.1.2.2

Faktorisiere $x$ aus $0 \cdot x$ heraus.

$\frac{\frac{1}{2}}{x} + \frac{x (\frac{3}{2} x) + x \cdot 0}{x^{3} - 4}$

Schritt 1.5.1.2.3

Faktorisiere $x$ aus $x (\frac{3}{2} x) + x \cdot 0$ heraus.

$\frac{\frac{1}{2}}{x} + \frac{x (\frac{3}{2} x + 0)}{x^{3} - 4}$

Schritt 1.5.1.3

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und $x$ .

$\frac{\frac{1}{2}}{x} + \frac{x (\frac{3 x}{2} + 0)}{x^{3} - 4}$

Schritt 1.5.1.4

Addiere $\frac{3 x}{2}$ und $0$ .

$\frac{\frac{1}{2}}{x} + \frac{x (\frac{3 x}{2})}{x^{3} - 4}$

Schritt 1.5.2

Kombiniere $x$ und $\frac{3 x}{2}$ .

$\frac{\frac{1}{2}}{x} + \frac{\frac{x (3 x)}{2}}{x^{3} - 4}$

Schritt 1.5.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.5.3.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{\frac{1}{2}}{x} + \frac{\frac{3 (x \cdot x)}{2}}{x^{3} - 4}$

Schritt 1.5.3.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{\frac{1}{2}}{x} + \frac{\frac{3 (x \cdot x)}{2}}{x^{3} - 4}$

Schritt 1.5.3.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\frac{1}{2}}{x} + \frac{\frac{3 x^{1 + 1}}{2}}{x^{3} - 4}$

Schritt 1.5.3.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\frac{1}{2}}{x} + \frac{\frac{3 x^{2}}{2}}{x^{3} - 4}$

Schritt 1.5.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{\frac{1}{2}}{x} + \frac{3 x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{x^{3} - 4}$

Schritt 1.5.5

Mutltipliziere $\frac{3 x^{2}}{2}$ mit $\frac{1}{x^{3} - 4}$ .

$\frac{\frac{1}{2}}{x} + \frac{3 x^{2}}{2 (x^{3} - 4)}$

Schritt 1.5.6

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x} + \frac{3 x^{2}}{2 (x^{3} - 4)}$

Schritt 1.5.7

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{x}$ .

$\int \frac{1}{2 x} + \frac{3 x^{2}}{2 (x^{3} - 4)} d x$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int \frac{1}{2 x} d x + \int \frac{3 x^{2}}{2 (x^{3} - 4)} d x$

Schritt 3

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{3 x^{2}}{2 (x^{3} - 4)} d x$

Schritt 4

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \int \frac{3 x^{2}}{2 (x^{3} - 4)} d x$

Schritt 5

Da $\frac{3}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{3}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \frac{3}{2} \int \frac{x^{2}}{x^{3} - 4} d x$

Schritt 6

Sei $u = x^{3} - 4$ . Dann ist $d u = 3 x^{2} d x$ , folglich $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 6.1

Es sei $u = x^{3} - 4$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 6.1.1

Differenziere $x^{3} - 4$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} - 4]$

Schritt 6.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} - 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 6.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 6.1.4

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$3 x^{2} + 0$

Schritt 6.1.5

Addiere $3 x^{2}$ und $0$ .

$3 x^{2}$

Schritt 6.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \frac{3}{2} \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{3} d u$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \frac{3}{2} \int \frac{1}{u \cdot 3} d u$

Schritt 7.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $u$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \frac{3}{2} \int \frac{1}{3 u} d u$

Schritt 8

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \frac{3}{2} (\frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u)$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{3}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \frac{3}{3 \cdot 2} \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 9.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \frac{3}{6} \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 9.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3$ und $6$ .

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Schritt 9.3.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \frac{3 (1)}{6} \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 9.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.3.2.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2} \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 9.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2} \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 9.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 10

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C)$

Schritt 11

Vereinfache.

$\frac{1}{2} \ln (| x |) + \frac{1}{2} \ln (| u |) + C$

Schritt 12

Ersetze alle $u$ durch $x^{3} - 4$ .

$\frac{1}{2} \ln (| x |) + \frac{1}{2} \ln (| x^{3} - 4 |) + C$