Analysis Beispiele

$\int_{0}^{2} x {(x^{2} + 1)}^{3} d x$

Schritt 1

Sei $u = x^{2} + 1$ . Dann ist $d u = 2 x d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = x^{2} + 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Schritt 1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.1.4

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 x + 0$

Schritt 1.1.5

Addiere $2 x$ und $0$ .

$2 x$

Schritt 1.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = x^{2} + 1$ ein.

$u_{lower} = 0^{2} + 1$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Schritt 1.3.2

Addiere $0$ und $1$ .

$u_{lower} = 1$

Schritt 1.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = x^{2} + 1$ ein.

$u_{upper} = 2^{2} + 1$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$u_{upper} = 4 + 1$

Schritt 1.5.2

Addiere $4$ und $1$ .

$u_{upper} = 5$

Schritt 1.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 5$

Schritt 1.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{1}^{5} u^{3} \frac{1}{2} d u$

Schritt 2

Kombiniere $u^{3}$ und $\frac{1}{2}$ .

$\int_{1}^{5} \frac{u^{3}}{2} d u$

Schritt 3

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{5} u^{3} d u$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{3}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$\frac{1}{2} \frac{1}{4} u^{4}]_{1}^{5}$

Schritt 5

Kombiniere Brüche.

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Schritt 5.1

Berechne $\frac{1}{4} u^{4}$ bei $5$ und $1$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{1}{4} \cdot 5^{4}) - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

Schritt 5.2

Potenziere $5$ mit $4$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{4} \cdot 625 - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

Schritt 5.3

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $625$ .

$\frac{1}{2} (\frac{625}{4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

Schritt 5.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.4.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1}{2} (\frac{625}{4} - \frac{1}{4} \cdot 1)$

Schritt 5.4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{625}{4} - \frac{1}{4})$

Schritt 5.4.3

Vereinfache.

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Schritt 5.4.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{625 - 1}{4}$

Schritt 5.4.3.2

Subtrahiere $1$ von $625$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{624}{4}$

Schritt 5.4.3.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $624$ und $4$ .

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Schritt 5.4.3.3.1

Faktorisiere $4$ aus $624$ heraus.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{4 \cdot 156}{4}$

Schritt 5.4.3.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.4.3.3.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{4 \cdot 156}{4 (1)}$

Schritt 5.4.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{4 \cdot 156}{4 \cdot 1}$

Schritt 5.4.3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{156}{1}$

Schritt 5.4.3.3.2.4

Dividiere $156$ durch $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 156$

Schritt 5.4.4

Vereinfache.

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Schritt 5.4.4.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $156$ .

$\frac{156}{2}$

Schritt 5.4.4.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $156$ und $2$ .

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Schritt 5.4.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $156$ heraus.

$\frac{2 \cdot 78}{2}$

Schritt 5.4.4.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.4.4.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 \cdot 78}{2 (1)}$

Schritt 5.4.4.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 78}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.4.4.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{78}{1}$

Schritt 5.4.4.2.2.4

Dividiere $78$ durch $1$ .

$78$