Analysis Beispiele

$\int_{1}^{3} (x^{3} - 4 x) d x$

Schritt 1

Das Integral konnte nicht mittels Substitution gelöst werden. Mathway wird eine andere Methode benutzen.

Schritt 2

Entferne die Klammern.

$\int_{1}^{3} x^{3} - 4 x d x$

Schritt 3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{1}^{3} x^{3} d x + \int_{1}^{3} - 4 x d x$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{3}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{4} x^{4}]_{1}^{3} + \int_{1}^{3} - 4 x d x$

Schritt 5

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 4$ aus dem Integral.

$\frac{1}{4} x^{4}]_{1}^{3} - 4 \int_{1}^{3} x d x$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{4} x^{4}]_{1}^{3} - 4 (\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{3})$

Schritt 7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 7.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$\frac{1}{4} x^{4}]_{1}^{3} - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{3})$

Schritt 7.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 7.2.1

Berechne $\frac{1}{4} x^{4}$ bei $3$ und $1$ .

$(\frac{1}{4} \cdot 3^{4}) - \frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{3})$

Schritt 7.2.2

Berechne $\frac{x^{2}}{2}$ bei $3$ und $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot 3^{4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 7.2.3

Vereinfache.

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Schritt 7.2.3.1

Potenziere $3$ mit $4$ .

$\frac{1}{4} \cdot 81 - \frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 7.2.3.2

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $81$ .

$\frac{81}{4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 7.2.3.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{81}{4} - \frac{1}{4} \cdot 1 - 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 7.2.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{81}{4} - \frac{1}{4} - 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 7.2.3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{81 - 1}{4} - 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 7.2.3.6

Subtrahiere $1$ von $81$ .

$\frac{80}{4} - 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 7.2.3.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $80$ und $4$ .

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Schritt 7.2.3.7.1

Faktorisiere $4$ aus $80$ heraus.

$\frac{4 \cdot 20}{4} - 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 7.2.3.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.2.3.7.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$\frac{4 \cdot 20}{4 (1)} - 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 7.2.3.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 \cdot 20}{4 \cdot 1} - 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 7.2.3.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{20}{1} - 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 7.2.3.7.2.4

Dividiere $20$ durch $1$ .

$20 - 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 7.2.3.8

Potenziere $3$ mit $2$ .

$20 - 4 (\frac{9}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 7.2.3.9

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$20 - 4 (\frac{9}{2} - \frac{1}{2})$

Schritt 7.2.3.10

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$20 - 4 \frac{9 - 1}{2}$

Schritt 7.2.3.11

Subtrahiere $1$ von $9$ .

$20 - 4 (\frac{8}{2})$

Schritt 7.2.3.12

Kürze den gemeinsamen Teiler von $8$ und $2$ .

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Schritt 7.2.3.12.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$20 - 4 \frac{2 \cdot 4}{2}$

Schritt 7.2.3.12.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.2.3.12.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$20 - 4 \frac{2 \cdot 4}{2 (1)}$

Schritt 7.2.3.12.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$20 - 4 \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.2.3.12.2.3

Forme den Ausdruck um.

$20 - 4 (\frac{4}{1})$

Schritt 7.2.3.12.2.4

Dividiere $4$ durch $1$ .

$20 - 4 \cdot 4$

Schritt 7.2.3.13

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$20 - 16$

Schritt 7.2.3.14

Subtrahiere $16$ von $20$ .

$4$

Schritt 8