Analysis Beispiele

$\int \frac{x^{3}}{5 - \frac{1}{2} x^{4}} d x$

Schritt 1

Sei $u = 5 - \frac{1}{2} x^{4}$ . Dann ist $d u = - 2 x^{3} d x$ , folglich $- \frac{1}{2} d u = x^{3} d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = 5 - \frac{1}{2} x^{4}$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $5 - \frac{1}{2} x^{4}$ .

$\frac{d}{d x} [5 - \frac{1}{2} x^{4}]$

Schritt 1.1.2

Differenziere.

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Schritt 1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 - \frac{1}{2} x^{4}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{4}]$

Schritt 1.1.2.2

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{4}]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{4}]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $- \frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{1}{2} x^{4}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$0 - \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$0 - \frac{1}{2} (4 x^{3})$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$0 - 4 (\frac{1}{2}) x^{3}$

Schritt 1.1.3.4

Kombiniere $- 4$ und $\frac{1}{2}$ .

$0 + \frac{- 4}{2} x^{3}$

Schritt 1.1.3.5

Kombiniere $\frac{- 4}{2}$ und $x^{3}$ .

$0 + \frac{- 4 x^{3}}{2}$

Schritt 1.1.3.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 4$ und $2$ .

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Schritt 1.1.3.6.1

Faktorisiere $2$ aus $- 4 x^{3}$ heraus.

$0 + \frac{2 (- 2 x^{3})}{2}$

Schritt 1.1.3.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.3.6.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$0 + \frac{2 (- 2 x^{3})}{2 (1)}$

Schritt 1.1.3.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$0 + \frac{2 (- 2 x^{3})}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.1.3.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$0 + \frac{- 2 x^{3}}{1}$

Schritt 1.1.3.6.2.4

Dividiere $- 2 x^{3}$ durch $1$ .

$0 - 2 x^{3}$

Schritt 1.1.4

Subtrahiere $2 x^{3}$ von $0$ .

$- 2 x^{3}$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 2} d u$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int \frac{1}{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Schritt 2.2

Mutltipliziere $\frac{1}{u}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\int - \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Schritt 2.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u$ .

$\int - \frac{1}{2 u} d u$

Schritt 3

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int \frac{1}{2 u} d u$

Schritt 4

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

Schritt 5

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$- \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C)$

Schritt 6

Vereinfache.

$- \frac{1}{2} \ln (| u |) + C$

Schritt 7

Ersetze alle $u$ durch $5 - \frac{1}{2} x^{4}$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| 5 - \frac{1}{2} x^{4} |) + C$