Analysis Beispiele

$\int \frac{x^{3}}{x^{2} + 1} d x$

Schritt 1

Sei $u = x^{2} + 1$ . Dann ist $d u = 2 x d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = x^{2} + 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Schritt 1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.1.4

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 x + 0$

Schritt 1.1.5

Addiere $2 x$ und $0$ .

$2 x$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \frac{{\sqrt{u - 1}}^{2}}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Schreibe ${\sqrt{u - 1}}^{2}$ als $u - 1$ um.

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Schritt 2.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u - 1}$ als ${(u - 1)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int \frac{{({(u - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Schritt 2.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \frac{{(u - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Schritt 2.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\int \frac{{(u - 1)}^{\frac{2}{2}}}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Schritt 2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int \frac{{(u - 1)}^{\frac{2}{2}}}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Schritt 2.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\int \frac{{(u - 1)}^{1}}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Schritt 2.1.5

Vereinfache.

$\int \frac{u - 1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Schritt 2.2

Mutltipliziere $\frac{u - 1}{u}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{u - 1}{u \cdot 2} d u$

Schritt 2.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u$ .

$\int \frac{u - 1}{2 u} d u$

Schritt 3

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{u - 1}{u} d u$

Schritt 4

Dividiere $u - 1$ durch $u$ .

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Schritt 4.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$u$

$0$

$u$

$1$

Schritt 4.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $u$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $u$ .

					$1$
	$u$	+	$0$		$u$	-	$1$

Schritt 4.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$1$
$u$	+	$0$		$u$	-	$1$
			+	$u$	+	$0$

Schritt 4.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $u + 0$

				$1$
$u$	+	$0$		$u$	-	$1$
			-	$u$	-	$0$

Schritt 4.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$1$
$u$	+	$0$		$u$	-	$1$
			-	$u$	-	$0$
					-	$1$

Schritt 4.6

Die endgültige Lösung ist der Quotient plus dem Rest geteilt durch den Divisor.

$\frac{1}{2} \int 1 - \frac{1}{u} d u$

Schritt 5

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\frac{1}{2} (\int d u + \int - \frac{1}{u} d u)$

Schritt 6

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{2} (u + C + \int - \frac{1}{u} d u)$

Schritt 7

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} (u + C - \int \frac{1}{u} d u)$

Schritt 8

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} (u + C - (\ln (| u |) + C))$

Schritt 9

Vereinfache.

$\frac{1}{2} (u - \ln (| u |)) + C$

Schritt 10

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} + 1$ .

$\frac{1}{2} (x^{2} + 1 - \ln (| x^{2} + 1 |)) + C$

Schritt 11

Vereinfache.

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Schritt 11.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} (- \ln (| x^{2} + 1 |)) + C$

Schritt 11.2

Vereinfache.

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Schritt 11.2.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} (- \ln (| x^{2} + 1 |)) + C$

Schritt 11.2.2

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $1$ .

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} (- \ln (| x^{2} + 1 |)) + C$

Schritt 11.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\ln (| x^{2} + 1 |)$ .

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} - \frac{\ln (| x^{2} + 1 |)}{2} + C$

Schritt 11.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x^{2} - \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} + \frac{1}{2} + C$

Schritt 12

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{2} (x^{2} - \ln (| x^{2} + 1 |)) + \frac{1}{2} + C$