Analysis Beispiele

$\int \frac{x^{3}}{1 + x^{4}} d x$

Schritt 1

Sei $u = 1 + x^{4}$ . Dann ist $d u = 4 x^{3} d x$ , folglich $\frac{1}{4} d u = x^{3} d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = 1 + x^{4}$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $1 + x^{4}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{4}]$

Schritt 1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + x^{4}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Schritt 1.1.3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Schritt 1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$0 + 4 x^{3}$

Schritt 1.1.5

Addiere $0$ und $4 x^{3}$ .

$4 x^{3}$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{4} d u$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u}$ mit $\frac{1}{4}$ .

$\int \frac{1}{u \cdot 4} d u$

Schritt 2.2

Bringe $4$ auf die linke Seite von $u$ .

$\int \frac{1}{4 u} d u$

Schritt 3

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{4}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 4

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{4} (\ln (| u |) + C)$

Schritt 5

Vereinfache.

$\frac{1}{4} \ln (| u |) + C$

Schritt 6

Ersetze alle $u$ durch $1 + x^{4}$ .

$\frac{1}{4} \ln (| 1 + x^{4} |) + C$