Analysis Beispiele

$\int_{- 2}^{4} x^{2} {(x^{3} + 8)}^{2} d x$

Schritt 1

Sei $u = x^{3} + 8$ . Dann ist $d u = 3 x^{2} d x$ , folglich $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Es sei $u = x^{3} + 8$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Differenziere $x^{3} + 8$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} + 8]$

Schritt 1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} + 8$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [8]$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [8]$

Schritt 1.1.4

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$3 x^{2} + 0$

Schritt 1.1.5

Addiere $3 x^{2}$ und $0$ .

$3 x^{2}$

Schritt 1.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = x^{3} + 8$ ein.

$u_{lower} = {(- 2)}^{3} + 8$

Schritt 1.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1

Potenziere $- 2$ mit $3$ .

$u_{lower} = - 8 + 8$

Schritt 1.3.2

Addiere $- 8$ und $8$ .

$u_{lower} = 0$

Schritt 1.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = x^{3} + 8$ ein.

$u_{upper} = 4^{3} + 8$

Schritt 1.5

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.1

Potenziere $4$ mit $3$ .

$u_{upper} = 64 + 8$

Schritt 1.5.2

Addiere $64$ und $8$ .

$u_{upper} = 72$

Schritt 1.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 72$

Schritt 1.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{0}^{72} u^{2} \frac{1}{3} d u$

Schritt 2

Kombiniere $u^{2}$ und $\frac{1}{3}$ .

$\int_{0}^{72} \frac{u^{2}}{3} d u$

Schritt 3

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{3} \int_{0}^{72} u^{2} d u$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{2}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{3} \frac{1}{3} u^{3}]_{0}^{72}$

Schritt 5

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Berechne $\frac{1}{3} u^{3}$ bei $72$ und $0$ .

$\frac{1}{3} ((\frac{1}{3} \cdot 72^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Schritt 5.2

Potenziere $72$ mit $3$ .

$\frac{1}{3} (\frac{1}{3} \cdot 373248 - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Schritt 5.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $373248$ .

$\frac{1}{3} (\frac{373248}{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Schritt 5.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $373248$ und $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.1

Faktorisiere $3$ aus $373248$ heraus.

$\frac{1}{3} (\frac{3 \cdot 124416}{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Schritt 5.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{1}{3} (\frac{3 \cdot 124416}{3 (1)} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Schritt 5.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{3} (\frac{3 \cdot 124416}{3 \cdot 1} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Schritt 5.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{3} (\frac{124416}{1} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Schritt 5.3.2.2.4

Dividiere $124416$ durch $1$ .

$\frac{1}{3} (124416 - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Schritt 5.4

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{1}{3} (124416 - \frac{1}{3} \cdot 0)$

Schritt 5.5

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{3} (124416 + 0 (\frac{1}{3}))$

Schritt 5.5.2

Mutltipliziere $0$ mit $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} (124416 + 0)$

Schritt 5.6

Addiere $124416$ und $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot 124416$

Schritt 5.7

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.7.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $124416$ .

$\frac{124416}{3}$

Schritt 5.7.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $124416$ und $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.7.2.1

Faktorisiere $3$ aus $124416$ heraus.

$\frac{3 \cdot 41472}{3}$

Schritt 5.7.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.7.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{3 \cdot 41472}{3 (1)}$

Schritt 5.7.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \cdot 41472}{3 \cdot 1}$

Schritt 5.7.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{41472}{1}$

Schritt 5.7.2.2.4

Dividiere $41472$ durch $1$ .

$41472$