Analysis Beispiele

$\frac{2}{3} \int \sqrt{4 - \frac{3}{5} x} d x$

Schritt 1

Sei $u = 4 - \frac{3}{5} x$ . Dann ist $d u = - \frac{3}{5} d x$ , folglich $- \frac{5}{3} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = 4 - \frac{3}{5} x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $4 - \frac{3}{5} x$ .

$\frac{d}{d x} [4 - \frac{3}{5} x]$

Schritt 1.1.2

Differenziere.

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Schritt 1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 - \frac{3}{5} x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{5} x]$ .

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{5} x]$

Schritt 1.1.2.2

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{5} x]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{5} x]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $- \frac{3}{5}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{3}{5} x$ nach $x$ gleich $- \frac{3}{5} \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - \frac{3}{5} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 - \frac{3}{5} \cdot 1$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$0 - \frac{3}{5}$

Schritt 1.1.4

Subtrahiere $\frac{3}{5}$ von $0$ .

$- \frac{3}{5}$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\frac{2}{3} \int - \sqrt{u} \frac{- 1}{- \frac{3}{5}} d u$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{2}{3} \int - \sqrt{u} \frac{1}{\frac{3}{5}} d u$

Schritt 2.2

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{3}{5}$ zu dividieren.

$\frac{2}{3} \int - \sqrt{u} (1 (\frac{5}{3})) d u$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $\frac{5}{3}$ mit $1$ .

$\frac{2}{3} \int - \sqrt{u} \frac{5}{3} d u$

Schritt 2.4

Kombiniere $\frac{5}{3}$ und $\sqrt{u}$ .

$\frac{2}{3} \int - \frac{5 \sqrt{u}}{3} d u$

Schritt 3

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{2}{3} (- \int \frac{5 \sqrt{u}}{3} d u)$

Schritt 4

Da $\frac{5}{3}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{5}{3}$ aus dem Integral.

$\frac{2}{3} (- (\frac{5}{3} \int \sqrt{u} d u))$

Schritt 5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.1

Vereinfache.

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Schritt 5.1.1

Mutltipliziere $\frac{2}{3}$ mit $\frac{5}{3}$ .

$- \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 3} \int \sqrt{u} d u$

Schritt 5.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$- \frac{10}{3 \cdot 3} \int \sqrt{u} d u$

Schritt 5.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$- \frac{10}{9} \int \sqrt{u} d u$

Schritt 5.2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u}$ als $u^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$- \frac{10}{9} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{\frac{1}{2}}$ nach $u$ gleich $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{10}{9} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Schreibe $- \frac{10}{9} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ als $- \frac{10}{9} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ um.

$- \frac{10}{9} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 7.2

Schreibe $- \frac{10}{9} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ als $- \frac{20}{27} u^{\frac{3}{2}} + C$ um.

$- \frac{20}{27} u^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 8

Ersetze alle $u$ durch $4 - \frac{3}{5} x$ .

$- \frac{20}{27} {(4 - \frac{3}{5} x)}^{\frac{3}{2}} + C$