Analysis Beispiele

$\int_{0}^{1} \frac{r^{3}}{\sqrt{16 + r^{2}}} d r$

Schritt 1

Sei $u = 16 + r^{2}$ . Dann ist $d u = 2 r d r$ , folglich $\frac{1}{2} d u = r d r$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = 16 + r^{2}$ . Ermittle $\frac{d u}{d r}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $16 + r^{2}$ .

$\frac{d}{d r} [16 + r^{2}]$

Schritt 1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $16 + r^{2}$ nach $r$ $\frac{d}{d r} [16] + \frac{d}{d r} [r^{2}]$ .

$\frac{d}{d r} [16] + \frac{d}{d r} [r^{2}]$

Schritt 1.1.3

Da $16$ konstant bezüglich $r$ ist, ist die Ableitung von $16$ bezüglich $r$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d r} [r^{2}]$

Schritt 1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ gleich $n r^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$0 + 2 r$

Schritt 1.1.5

Addiere $0$ und $2 r$ .

$2 r$

Schritt 1.2

Setze die untere Grenze für $r$ in $u = 16 + r^{2}$ ein.

$u_{lower} = 16 + 0^{2}$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$u_{lower} = 16 + 0$

Schritt 1.3.2

Addiere $16$ und $0$ .

$u_{lower} = 16$

Schritt 1.4

Setze die obere Grenze für $r$ in $u = 16 + r^{2}$ ein.

$u_{upper} = 16 + 1^{2}$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$u_{upper} = 16 + 1$

Schritt 1.5.2

Addiere $16$ und $1$ .

$u_{upper} = 17$

Schritt 1.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 16$

$u_{upper} = 17$

Schritt 1.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{16}^{17} \frac{{\sqrt{u - 16}}^{2}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Schreibe ${\sqrt{u - 16}}^{2}$ als $u - 16$ um.

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Schritt 2.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u - 16}$ als ${(u - 16)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int_{16}^{17} \frac{{({(u - 16)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Schritt 2.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{16}^{17} \frac{{(u - 16)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Schritt 2.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\int_{16}^{17} \frac{{(u - 16)}^{\frac{2}{2}}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Schritt 2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int_{16}^{17} \frac{{(u - 16)}^{\frac{2}{2}}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Schritt 2.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\int_{16}^{17} \frac{{(u - 16)}^{1}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Schritt 2.1.5

Vereinfache.

$\int_{16}^{17} \frac{u - 16}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Schritt 2.2

Mutltipliziere $\frac{u - 16}{\sqrt{u}}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\int_{16}^{17} \frac{u - 16}{\sqrt{u} \cdot 2} d u$

Schritt 2.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\sqrt{u}$ .

$\int_{16}^{17} \frac{u - 16}{2 \sqrt{u}} d u$

Schritt 3

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int_{16}^{17} \frac{u - 16}{\sqrt{u}} d u$

Schritt 4

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u}$ als $u^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{1}{2} \int_{16}^{17} \frac{u - 16}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Schritt 4.2

Bringe $u^{\frac{1}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int_{16}^{17} (u - 16) {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Schritt 4.3

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 4.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int_{16}^{17} (u - 16) u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Schritt 4.3.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int_{16}^{17} (u - 16) u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Schritt 4.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} \int_{16}^{17} (u - 16) u^{- \frac{1}{2}} d u$

Schritt 5

Multipliziere $(u - 16) u^{- \frac{1}{2}}$ aus.

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Schritt 5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{2} \int_{16}^{17} u \cdot u^{- \frac{1}{2}} - 16 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Schritt 5.2

Potenziere $u$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} \int_{16}^{17} u^{1} u^{- \frac{1}{2}} - 16 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Schritt 5.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{2} \int_{16}^{17} u^{1 - \frac{1}{2}} - 16 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Schritt 5.4

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} \int_{16}^{17} u^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} - 16 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Schritt 5.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} \int_{16}^{17} u^{\frac{2 - 1}{2}} - 16 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Schritt 5.6

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$\frac{1}{2} \int_{16}^{17} u^{\frac{1}{2}} - 16 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Schritt 6

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\frac{1}{2} (\int_{16}^{17} u^{\frac{1}{2}} d u + \int_{16}^{17} - 16 u^{- \frac{1}{2}} d u)$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{\frac{1}{2}}$ nach $u$ gleich $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{16}^{17} + \int_{16}^{17} - 16 u^{- \frac{1}{2}} d u)$

Schritt 8

Da $- 16$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 16$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{16}^{17} - 16 \int_{16}^{17} u^{- \frac{1}{2}} d u)$

Schritt 9

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{- \frac{1}{2}}$ nach $u$ gleich $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{16}^{17} - 16 (2 u^{\frac{1}{2}}]_{16}^{17}))$

Schritt 10

Kombiniere Brüche.

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Schritt 10.1

Berechne $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ bei $17$ und $16$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{2}{3} \cdot 17^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 16^{\frac{3}{2}} - 16 (2 u^{\frac{1}{2}}]_{16}^{17}))$

Schritt 10.2

Berechne $2 u^{\frac{1}{2}}$ bei $17$ und $16$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot 17^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 16^{\frac{3}{2}} - 16 (2 \cdot 17^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 16^{\frac{1}{2}}))$

Schritt 10.3

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $17^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 17^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 16^{\frac{3}{2}} - 16 (2 \cdot 17^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 16^{\frac{1}{2}}))$

Schritt 10.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 10.4.1

Vereinfache.

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Schritt 10.4.1.1

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 17^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot {(4^{2})}^{\frac{3}{2}} - 16 (2 \cdot 17^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 16^{\frac{1}{2}}))$

Schritt 10.4.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 17^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 4^{2 (\frac{3}{2})} - 16 (2 \cdot 17^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 16^{\frac{1}{2}}))$

Schritt 10.4.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 10.4.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 17^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 4^{2 (\frac{3}{2})} - 16 (2 \cdot 17^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 16^{\frac{1}{2}}))$

Schritt 10.4.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 17^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 4^{3} - 16 (2 \cdot 17^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 16^{\frac{1}{2}}))$

Schritt 10.4.1.4

Potenziere $4$ mit $3$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 17^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 64 - 16 (2 \cdot 17^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 16^{\frac{1}{2}}))$

Schritt 10.4.2

Vereinfache.

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Schritt 10.4.2.1

Mutltipliziere $64$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 17^{\frac{3}{2}}}{3} - 64 (\frac{2}{3}) - 16 (2 \cdot 17^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 16^{\frac{1}{2}}))$

Schritt 10.4.2.2

Kombiniere $- 64$ und $\frac{2}{3}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 17^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 64 \cdot 2}{3} - 16 (2 \cdot 17^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 16^{\frac{1}{2}}))$

Schritt 10.4.2.3

Mutltipliziere $- 64$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 17^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 128}{3} - 16 (2 \cdot 17^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 16^{\frac{1}{2}}))$

Schritt 10.4.2.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 17^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{128}{3} - 16 (2 \cdot 17^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 16^{\frac{1}{2}}))$

Schritt 10.4.3

Vereinfache.

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Schritt 10.4.3.1

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 17^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{128}{3} - 16 (2 \cdot 17^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot {(4^{2})}^{\frac{1}{2}}))$

Schritt 10.4.3.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 17^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{128}{3} - 16 (2 \cdot 17^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4^{2 (\frac{1}{2})}))$

Schritt 10.4.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 10.4.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 17^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{128}{3} - 16 (2 \cdot 17^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4^{2 (\frac{1}{2})}))$

Schritt 10.4.3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 17^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{128}{3} - 16 (2 \cdot 17^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4^{1}))$

Schritt 10.4.3.4

Berechne den Exponenten.

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 17^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{128}{3} - 16 (2 \cdot 17^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4))$

Schritt 10.4.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $4$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 17^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{128}{3} - 16 (2 \cdot 17^{\frac{1}{2}} - 8))$

Schritt 10.4.5

Vereinfache.

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Schritt 10.4.5.1

Um $- 16 (2 \cdot 17^{\frac{1}{2}} - 8)$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 17^{\frac{3}{2}}}{3} - 16 (2 \cdot 17^{\frac{1}{2}} - 8) \cdot \frac{3}{3} - \frac{128}{3})$

Schritt 10.4.5.2

Kombiniere $- 16 (2 \cdot 17^{\frac{1}{2}} - 8)$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 17^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 16 (2 \cdot 17^{\frac{1}{2}} - 8) \cdot 3}{3} - \frac{128}{3})$

Schritt 10.4.5.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 17^{\frac{3}{2}} - 16 (2 \cdot 17^{\frac{1}{2}} - 8) \cdot 3}{3} - \frac{128}{3})$

Schritt 10.4.5.4

Mutltipliziere $3$ mit $- 16$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 17^{\frac{3}{2}} - 48 (2 \cdot 17^{\frac{1}{2}} - 8)}{3} - \frac{128}{3})$

Schritt 11

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{1}{2} \cdot (\frac{2 \cdot 17^{\frac{3}{2}} - 48 (2 \cdot 17^{\frac{1}{2}} - 8)}{3} - \frac{128}{3})$

Dezimalform:

$0.06124186 \dots$