Analysis Beispiele

$\int e^{- x} \tan (e^{- x}) d x$

Schritt 1

Sei $u_{1} = - x$ . Dann ist $d u_{1} = - d x$ , folglich $- d u_{1} = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u_{1} = - x$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 1.1.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Schritt 1.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 1$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$\int - e^{u_{1}} \tan (e^{u_{1}}) d u_{1}$

Schritt 2

Da $- 1$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int e^{u_{1}} \tan (e^{u_{1}}) d u_{1}$

Schritt 3

Sei $u_{2} = e^{u_{1}}$ . Dann ist $d u_{2} = e^{u_{1}} d u_{1}$ , folglich $\frac{1}{e^{u_{1}}} d u_{2} = d u_{1}$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 3.1

Es sei $u_{2} = e^{u_{1}}$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Schritt 3.1.1

Differenziere $e^{u_{1}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}]$

Schritt 3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ gleich $a^{u_{1}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}}$

Schritt 3.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$- \int \tan (u_{2}) d u_{2}$

Schritt 4

Das Integral von $\tan (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\ln (| \sec (u_{2}) |)$ .

$- (\ln (| \sec (u_{2}) |) + C)$

Schritt 5

Vereinfache.

$- \ln (| \sec (u_{2}) |) + C$

Schritt 6

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

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Schritt 6.1

Ersetze alle $u_{2}$ durch $e^{u_{1}}$ .

$- \ln (| \sec (e^{u_{1}}) |) + C$

Schritt 6.2

Ersetze alle $u_{1}$ durch $- x$ .

$- \ln (| \sec (e^{- x}) |) + C$