Analysis Beispiele

$\int_{0}^{1} x^{3} {(2 x^{4} + 1)}^{2} d x$

Schritt 1

Sei $u = 2 x^{4} + 1$ . Dann ist $d u = 8 x^{3} d x$ , folglich $\frac{1}{8} d u = x^{3} d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = 2 x^{4} + 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $2 x^{4} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{4} + 1]$

Schritt 1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x^{4} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x^{4}]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{4}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$2 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$8 x^{3} + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.1.4.1

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$8 x^{3} + 0$

Schritt 1.1.4.2

Addiere $8 x^{3}$ und $0$ .

$8 x^{3}$

Schritt 1.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = 2 x^{4} + 1$ ein.

$u_{lower} = 2 \cdot 0^{4} + 1$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0 + 1$

Schritt 1.3.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Schritt 1.3.2

Addiere $0$ und $1$ .

$u_{lower} = 1$

Schritt 1.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = 2 x^{4} + 1$ ein.

$u_{upper} = 2 \cdot 1^{4} + 1$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.5.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$u_{upper} = 2 \cdot 1 + 1$

Schritt 1.5.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$u_{upper} = 2 + 1$

Schritt 1.5.2

Addiere $2$ und $1$ .

$u_{upper} = 3$

Schritt 1.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 3$

Schritt 1.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{1}^{3} u^{2} \frac{1}{8} d u$

Schritt 2

Kombiniere $u^{2}$ und $\frac{1}{8}$ .

$\int_{1}^{3} \frac{u^{2}}{8} d u$

Schritt 3

Da $\frac{1}{8}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{8}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{8} \int_{1}^{3} u^{2} d u$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{2}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{8} \frac{1}{3} u^{3}]_{1}^{3}$

Schritt 5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.1

Berechne $\frac{1}{3} u^{3}$ bei $3$ und $1$ .

$\frac{1}{8} ((\frac{1}{3} \cdot 3^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Schritt 5.2

Potenziere $3$ mit $3$ .

$\frac{1}{8} (\frac{1}{3} \cdot 27 - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Schritt 5.3

Vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $27$ .

$\frac{1}{8} (\frac{27}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Schritt 5.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $27$ und $3$ .

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Schritt 5.3.2.1

Faktorisiere $3$ aus $27$ heraus.

$\frac{1}{8} (\frac{3 \cdot 9}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Schritt 5.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{1}{8} (\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Schritt 5.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{8} (\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Schritt 5.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{8} (\frac{9}{1} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Schritt 5.3.2.2.4

Dividiere $9$ durch $1$ .

$\frac{1}{8} (9 - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Schritt 5.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.4.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1}{8} (9 - \frac{1}{3} \cdot 1)$

Schritt 5.4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1}{8} (9 - \frac{1}{3})$

Schritt 5.5

Vereinfache.

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Schritt 5.5.1

Um $9$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{8} (9 \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3})$

Schritt 5.5.2

Kombiniere $9$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{8} (\frac{9 \cdot 3}{3} - \frac{1}{3})$

Schritt 5.5.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{8} \cdot \frac{9 \cdot 3 - 1}{3}$

Schritt 5.5.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.5.4.1

Mutltipliziere $9$ mit $3$ .

$\frac{1}{8} \cdot \frac{27 - 1}{3}$

Schritt 5.5.4.2

Subtrahiere $1$ von $27$ .

$\frac{1}{8} \cdot \frac{26}{3}$

Schritt 5.6

Vereinfache.

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Schritt 5.6.1

Mutltipliziere $\frac{1}{8}$ mit $\frac{26}{3}$ .

$\frac{26}{8 \cdot 3}$

Schritt 5.6.2

Mutltipliziere $8$ mit $3$ .

$\frac{26}{24}$

Schritt 5.6.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $26$ und $24$ .

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Schritt 5.6.3.1

Faktorisiere $2$ aus $26$ heraus.

$\frac{2 (13)}{24}$

Schritt 5.6.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.6.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $24$ heraus.

$\frac{2 \cdot 13}{2 \cdot 12}$

Schritt 5.6.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 13}{2 \cdot 12}$

Schritt 5.6.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{13}{12}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{13}{12}$

Dezimalform:

$1.08\overline{3}$

Darstellung als gemischte Zahl:

$1 \frac{1}{12}$