Analysis Beispiele

$\int \frac{1}{e^{x}} d x$

Schritt 1

Sei $u = e^{x}$ . Dann ist $d u = e^{x} d x$ , folglich $- d u = - e^{x} d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = e^{x}$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $e^{x}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x}]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{x}$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \frac{1}{1} \cdot 1 d u$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1$ .

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Schritt 2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int \frac{1}{1} \cdot 1 d u$

Schritt 2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\int 1 \cdot 1 d u$

Schritt 2.2

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$\int d u$

Schritt 3

Wende die Konstantenregel an.

$u + C$

Schritt 4

Ersetze alle $u$ durch $e^{x}$ .

$e^{x} + C$