Analysis Beispiele

$\int \frac{x^{2}}{e^{x^{3}}} d x$

Schritt 1

Sei $u_{1} = x^{3}$ . Dann ist $d u_{1} = 3 x^{2} d x$ , folglich $\frac{1}{3} d u_{1} = x^{2} d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Es sei $u_{1} = x^{3}$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Differenziere $x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 x^{2}$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$\int \frac{1}{e^{u_{1}}} \cdot \frac{1}{3} d u_{1}$

Schritt 2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{e^{u_{1}}}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{1}{e^{u_{1}} \cdot 3} d u_{1}$

Schritt 2.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $e^{u_{1}}$ .

$\int \frac{1}{3 e^{u_{1}}} d u_{1}$

Schritt 3

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{e^{u_{1}}} d u_{1}$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Kehre das Vorzeichen des Exponenten von $e^{u_{1}}$ um und ziehe es aus dem Nenner heraus.

$\frac{1}{3} \int 1 {(e^{u_{1}})}^{- 1} d u_{1}$

Schritt 4.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Multipliziere die Exponenten in ${(e^{u_{1}})}^{- 1}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} \int 1 e^{u_{1} \cdot - 1} d u_{1}$

Schritt 4.2.1.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $u_{1}$ .

$\frac{1}{3} \int 1 e^{- 1 \cdot u_{1}} d u_{1}$

Schritt 4.2.1.3

Schreibe $- 1 u_{1}$ als $- u_{1}$ um.

$\frac{1}{3} \int 1 e^{- u_{1}} d u_{1}$

Schritt 4.2.2

Mutltipliziere $e^{- u_{1}}$ mit $1$ .

$\frac{1}{3} \int e^{- u_{1}} d u_{1}$

Schritt 5

Sei $u_{2} = - u_{1}$ . Dann ist $d u_{2} = - d u_{1}$ , folglich $- d u_{2} = d u_{1}$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Es sei $u_{2} = - u_{1}$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.1

Differenziere $- u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [- u_{1}]$

Schritt 5.1.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ist die Ableitung von $- u_{1}$ nach $u_{1}$ gleich $- \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$- \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Schritt 5.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Schritt 5.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 1$

Schritt 5.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$\frac{1}{3} \int - e^{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 6

Da $- 1$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{1}{3} (- \int e^{u_{2}} d u_{2})$

Schritt 7

Das Integral von $e^{u_{2}}$ nach $u_{2}$ ist $e^{u_{2}}$ .

$\frac{1}{3} (- (e^{u_{2}} + C))$

Schritt 8

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1

Vereinfache.

$\frac{1}{3} (- e^{u_{2}}) + C$

Schritt 8.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $e^{u_{2}}$ .

$- \frac{e^{u_{2}}}{3} + C$

Schritt 9

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1

Ersetze alle $u_{2}$ durch $- u_{1}$ .

$- \frac{e^{- u_{1}}}{3} + C$

Schritt 9.2

Ersetze alle $u_{1}$ durch $x^{3}$ .

$- \frac{e^{- x^{3}}}{3} + C$

Schritt 10

Stelle die Terme um.

$- \frac{1}{3} e^{- x^{3}} + C$