Analysis Beispiele

$\int \frac{12 x^{2}}{4 x^{3} - 6} d x$

Schritt 1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $12$ und $4 x^{3} - 6$ .

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Schritt 1.1

Faktorisiere $2$ aus $12 x^{2}$ heraus.

$\int \frac{2 (6 x^{2})}{4 x^{3} - 6} d x$

Schritt 1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4 x^{3}$ heraus.

$\int \frac{2 (6 x^{2})}{2 (2 x^{3}) - 6} d x$

Schritt 1.2.2

Faktorisiere $2$ aus $- 6$ heraus.

$\int \frac{2 (6 x^{2})}{2 (2 x^{3}) + 2 (- 3)} d x$

Schritt 1.2.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (2 x^{3}) + 2 (- 3)$ heraus.

$\int \frac{2 (6 x^{2})}{2 (2 x^{3} - 3)} d x$

Schritt 1.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int \frac{2 (6 x^{2})}{2 (2 x^{3} - 3)} d x$

Schritt 1.2.5

Forme den Ausdruck um.

$\int \frac{6 x^{2}}{2 x^{3} - 3} d x$

Schritt 2

Sei $u = 2 x^{3} - 3$ . Dann ist $d u = 6 x^{2} d x$ , folglich $\frac{1}{6 x^{2}} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u = 2 x^{3} - 3$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $2 x^{3} - 3$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{3} - 3]$

Schritt 2.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x^{3} - 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 2.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

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Schritt 2.1.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{3}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 2.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 2.1.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 2.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.1.4.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$6 x^{2} + 0$

Schritt 2.1.4.2

Addiere $6 x^{2}$ und $0$ .

$6 x^{2}$

Schritt 2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \frac{1}{u} d u$

Schritt 3

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C$

Schritt 4

Ersetze alle $u$ durch $2 x^{3} - 3$ .

$\ln (| 2 x^{3} - 3 |) + C$