Analysis Beispiele

$\int \frac{12 x^{2}}{2 x + 1} d x$

Schritt 1

Sei $u_{1} = 2 x + 1$ . Dann ist $d u_{1} = 2 d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u_{1} = 2 x + 1$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $2 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Schritt 1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.1.4.1

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 + 0$

Schritt 1.1.4.2

Addiere $2$ und $0$ .

$2$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$\int \frac{6 {(\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2})}^{2}}{u_{1}} d u_{1}$

Schritt 2

Da $6$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $6$ aus dem Integral.

$6 \int \frac{{(\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2})}^{2}}{u_{1}} d u_{1}$

Schritt 3

Sei $u_{2} = \frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2}$ . Dann ist $d u_{2} = \frac{1}{2} d u_{1}$ , folglich $2 d u_{2} = d u_{1}$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 3.1

Es sei $u_{2} = \frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2}$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Schritt 3.1.1

Differenziere $\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2}]$

Schritt 3.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2}$ nach $u_{1}$ $\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{2}] + \frac{d}{d u_{1}} [- \frac{1}{2}]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{2}] + \frac{d}{d u_{1}} [- \frac{1}{2}]$

Schritt 3.1.3

Berechne $\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{2}]$ .

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Schritt 3.1.3.1

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ist die Ableitung von $\frac{u_{1}}{2}$ nach $u_{1}$ gleich $\frac{1}{2} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [- \frac{1}{2}]$

Schritt 3.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d u_{1}} [- \frac{1}{2}]$

Schritt 3.1.3.3

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} + \frac{d}{d u_{1}} [- \frac{1}{2}]$

Schritt 3.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 3.1.4.1

Da $- \frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{1}{2}$ bezüglich $u_{1}$ gleich $0$ .

$\frac{1}{2} + 0$

Schritt 3.1.4.2

Addiere $\frac{1}{2}$ und $0$ .

$\frac{1}{2}$

Schritt 3.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$6 \int \frac{{u_{2}}^{2}}{2 u_{2} + 1} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2}} d u_{2}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{1}{2}$ zu dividieren.

$6 \int \frac{{u_{2}}^{2}}{2 u_{2} + 1} (1 \cdot 2) d u_{2}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$6 \int \frac{{u_{2}}^{2}}{2 u_{2} + 1} \cdot 2 d u_{2}$

Schritt 4.3

Kombiniere $\frac{{u_{2}}^{2}}{2 u_{2} + 1}$ und $2$ .

$6 \int \frac{{u_{2}}^{2} \cdot 2}{2 u_{2} + 1} d u_{2}$

Schritt 4.4

Bringe $2$ auf die linke Seite von ${u_{2}}^{2}$ .

$6 \int \frac{2 {u_{2}}^{2}}{2 u_{2} + 1} d u_{2}$

Schritt 5

Da $2$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$6 (2 \int \frac{{u_{2}}^{2}}{2 u_{2} + 1} d u_{2})$

Schritt 6

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$12 \int \frac{{u_{2}}^{2}}{2 u_{2} + 1} d u_{2}$

Schritt 7

Dividiere ${u_{2}}^{2}$ durch $2 u_{2} + 1$ .

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Schritt 7.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$2 u_{2}$

$1$

${u_{2}}^{2}$

$0 u_{2}$

$0$

Schritt 7.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend ${u_{2}}^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $2 u_{2}$ .

					$\frac{u_{2}}{2}$
	$2 u_{2}$	+	$1$		${u_{2}}^{2}$	+	$0 u_{2}$	+	$0$

Schritt 7.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$\frac{u_{2}}{2}$
$2 u_{2}$	+	$1$		${u_{2}}^{2}$	+	$0 u_{2}$	+	$0$
			+	${u_{2}}^{2}$	+	$\frac{u_{2}}{2}$

Schritt 7.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $u^{2} + \frac{u}{2}$

				$\frac{u_{2}}{2}$
$2 u_{2}$	+	$1$		${u_{2}}^{2}$	+	$0 u_{2}$	+	$0$
			-	${u_{2}}^{2}$	-	$\frac{u_{2}}{2}$

Schritt 7.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$\frac{u_{2}}{2}$
$2 u_{2}$	+	$1$		${u_{2}}^{2}$	+	$0 u_{2}$	+	$0$
			-	${u_{2}}^{2}$	-	$\frac{u_{2}}{2}$
					-	$\frac{u_{2}}{2}$

Schritt 7.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$\frac{u_{2}}{2}$
$2 u_{2}$	+	$1$		${u_{2}}^{2}$	+	$0 u_{2}$	+	$0$
			-	${u_{2}}^{2}$	-	$\frac{u_{2}}{2}$
					-	$\frac{u_{2}}{2}$	+	$0$

Schritt 7.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- \frac{u_{2}}{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $2 u_{2}$ .

				$\frac{u_{2}}{2}$	-	$\frac{1}{4}$
$2 u_{2}$	+	$1$		${u_{2}}^{2}$	+	$0 u_{2}$	+	$0$
			-	${u_{2}}^{2}$	-	$\frac{u_{2}}{2}$
					-	$\frac{u_{2}}{2}$	+	$0$

Schritt 7.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$\frac{u_{2}}{2}$	-	$\frac{1}{4}$
$2 u_{2}$	+	$1$		${u_{2}}^{2}$	+	$0 u_{2}$	+	$0$
			-	${u_{2}}^{2}$	-	$\frac{u_{2}}{2}$
					-	$\frac{u_{2}}{2}$	+	$0$
					-	$\frac{u_{2}}{2}$	-	$\frac{1}{4}$

Schritt 7.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- \frac{u_{2}}{2} - \frac{1}{4}$

				$\frac{u_{2}}{2}$	-	$\frac{1}{4}$
$2 u_{2}$	+	$1$		${u_{2}}^{2}$	+	$0 u_{2}$	+	$0$
			-	${u_{2}}^{2}$	-	$\frac{u_{2}}{2}$
					-	$\frac{u_{2}}{2}$	+	$0$
					+	$\frac{u_{2}}{2}$	+	$\frac{1}{4}$

Schritt 7.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$\frac{u_{2}}{2}$	-	$\frac{1}{4}$
$2 u_{2}$	+	$1$		${u_{2}}^{2}$	+	$0 u_{2}$	+	$0$
			-	${u_{2}}^{2}$	-	$\frac{u_{2}}{2}$
					-	$\frac{u_{2}}{2}$	+	$0$
					+	$\frac{u_{2}}{2}$	+	$\frac{1}{4}$
							+	$\frac{1}{4}$

Schritt 7.11

Die endgültige Lösung ist der Quotient plus dem Rest geteilt durch den Divisor.

$12 \int \frac{u_{2}}{2} - \frac{1}{4} + \frac{1}{4 (2 u_{2} + 1)} d u_{2}$

Schritt 8

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$12 (\int \frac{u_{2}}{2} d u_{2} + \int - \frac{1}{4} d u_{2} + \int \frac{1}{4 (2 u_{2} + 1)} d u_{2})$

Schritt 9

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$12 (\frac{1}{2} \int u_{2} d u_{2} + \int - \frac{1}{4} d u_{2} + \int \frac{1}{4 (2 u_{2} + 1)} d u_{2})$

Schritt 10

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u_{2}$ nach $u_{2}$ gleich $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$12 (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C) + \int - \frac{1}{4} d u_{2} + \int \frac{1}{4 (2 u_{2} + 1)} d u_{2})$

Schritt 11

Wende die Konstantenregel an.

$12 (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C) - \frac{1}{4} u_{2} + C + \int \frac{1}{4 (2 u_{2} + 1)} d u_{2})$

Schritt 12

Vereinfache.

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Schritt 12.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${u_{2}}^{2}$ .

$12 (\frac{1}{2} (\frac{{u_{2}}^{2}}{2} + C) - \frac{1}{4} u_{2} + C + \int \frac{1}{4 (2 u_{2} + 1)} d u_{2})$

Schritt 12.2

Kombiniere $u_{2}$ und $\frac{1}{4}$ .

$12 (\frac{1}{2} (\frac{{u_{2}}^{2}}{2} + C) - \frac{u_{2}}{4} + C + \int \frac{1}{4 (2 u_{2} + 1)} d u_{2})$

Schritt 13

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $\frac{1}{4}$ aus dem Integral.

$12 (\frac{1}{2} (\frac{{u_{2}}^{2}}{2} + C) - \frac{u_{2}}{4} + C + \frac{1}{4} \int \frac{1}{2 u_{2} + 1} d u_{2})$

Schritt 14

Sei $u_{3} = 2 u_{2} + 1$ . Dann ist $d u_{3} = 2 d u_{2}$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{3} = d u_{2}$ . Forme um unter Verwendung von $u_{3}$ und $d$ $u_{3}$ .

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Schritt 14.1

Es sei $u_{3} = 2 u_{2} + 1$ . Ermittle $\frac{d u_{3}}{d u_{2}}$ .

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Schritt 14.1.1

Differenziere $2 u_{2} + 1$ .

$\frac{d}{d u_{2}} [2 u_{2} + 1]$

Schritt 14.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 u_{2} + 1$ nach $u_{2}$ $\frac{d}{d u_{2}} [2 u_{2}] + \frac{d}{d u_{2}} [1]$ .

$\frac{d}{d u_{2}} [2 u_{2}] + \frac{d}{d u_{2}} [1]$

Schritt 14.1.3

Berechne $\frac{d}{d u_{2}} [2 u_{2}]$ .

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Schritt 14.1.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ist die Ableitung von $2 u_{2}$ nach $u_{2}$ gleich $2 \frac{d}{d u_{2}} [u_{2}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{2}} [u_{2}] + \frac{d}{d u_{2}} [1]$

Schritt 14.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d u_{2}} [1]$

Schritt 14.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 + \frac{d}{d u_{2}} [1]$

Schritt 14.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 14.1.4.1

Da $1$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $u_{2}$ gleich $0$ .

$2 + 0$

Schritt 14.1.4.2

Addiere $2$ und $0$ .

$2$

Schritt 14.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{3}$ und $d u_{3}$ neu.

$12 (\frac{1}{2} (\frac{{u_{2}}^{2}}{2} + C) - \frac{u_{2}}{4} + C + \frac{1}{4} \int \frac{1}{u_{3}} \cdot \frac{1}{2} d u_{3})$

Schritt 15

Vereinfache.

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Schritt 15.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u_{3}}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$12 (\frac{1}{2} (\frac{{u_{2}}^{2}}{2} + C) - \frac{u_{2}}{4} + C + \frac{1}{4} \int \frac{1}{u_{3} \cdot 2} d u_{3})$

Schritt 15.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u_{3}$ .

$12 (\frac{1}{2} (\frac{{u_{2}}^{2}}{2} + C) - \frac{u_{2}}{4} + C + \frac{1}{4} \int \frac{1}{2 u_{3}} d u_{3})$

Schritt 16

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{3}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$12 (\frac{1}{2} (\frac{{u_{2}}^{2}}{2} + C) - \frac{u_{2}}{4} + C + \frac{1}{4} (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{3}} d u_{3}))$

Schritt 17

Vereinfache.

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Schritt 17.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{4}$ .

$12 (\frac{1}{2} (\frac{{u_{2}}^{2}}{2} + C) - \frac{u_{2}}{4} + C + \frac{1}{2 \cdot 4} \int \frac{1}{u_{3}} d u_{3})$

Schritt 17.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$12 (\frac{1}{2} (\frac{{u_{2}}^{2}}{2} + C) - \frac{u_{2}}{4} + C + \frac{1}{8} \int \frac{1}{u_{3}} d u_{3})$

Schritt 18

Das Integral von $\frac{1}{u_{3}}$ nach $u_{3}$ ist $\ln (| u_{3} |)$ .

$12 (\frac{1}{2} (\frac{{u_{2}}^{2}}{2} + C) - \frac{u_{2}}{4} + C + \frac{1}{8} (\ln (| u_{3} |) + C))$

Schritt 19

Vereinfache.

$12 (\frac{{u_{2}}^{2}}{4} - \frac{u_{2}}{4} + \frac{\ln (| u_{3} |)}{8}) + C$

Schritt 20

Stelle die Terme um.

$12 (\frac{1}{4} {u_{2}}^{2} - \frac{1}{4} u_{2} + \frac{1}{8} \ln (| u_{3} |)) + C$

Schritt 21

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

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Schritt 21.1

Ersetze alle $u_{2}$ durch $\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2}$ .

$12 (\frac{1}{4} {(\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4} (\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2}) + \frac{1}{8} \ln (| u_{3} |)) + C$

Schritt 21.2

Ersetze alle $u_{3}$ durch $2 u_{2} + 1$ .

$12 (\frac{1}{4} {(\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4} (\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2}) + \frac{1}{8} \ln (| 2 u_{2} + 1 |)) + C$

Schritt 21.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $2 x + 1$ .

$12 (\frac{1}{4} {(\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4} (\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2}) + \frac{1}{8} \ln (| 2 u_{2} + 1 |)) + C$

Schritt 21.4

Ersetze alle $u_{2}$ durch $\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2}$ .

$12 (\frac{1}{4} {(\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4} (\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2}) + \frac{1}{8} \ln (| 2 (\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2}) + 1 |)) + C$

Schritt 21.5

Ersetze alle $u_{1}$ durch $2 x + 1$ .

$12 (\frac{1}{4} {(\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4} (\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2}) + \frac{1}{8} \ln (| 2 (\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2}) + 1 |)) + C$

Schritt 22

Vereinfache.

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Schritt 22.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$12 (\frac{1}{4} {(\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4} \cdot \frac{2 x + 1 - 1}{2} + \frac{1}{8} \ln (| 2 (\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2}) + 1 |)) + C$

Schritt 22.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $2 x + 1 - 1$ .

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Schritt 22.2.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$12 (\frac{1}{4} {(\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4} \cdot \frac{2 x + 0}{2} + \frac{1}{8} \ln (| 2 (\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2}) + 1 |)) + C$

Schritt 22.2.2

Addiere $2 x$ und $0$ .

$12 (\frac{1}{4} {(\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4} \cdot \frac{2 x}{2} + \frac{1}{8} \ln (| 2 (\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2}) + 1 |)) + C$

Schritt 22.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 22.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{4}$ in den Zähler.

$12 (\frac{1}{4} {(\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2})}^{2} + \frac{- 1}{4} \cdot \frac{2 x}{2} + \frac{1}{8} \ln (| 2 (\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2}) + 1 |)) + C$

Schritt 22.3.2

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$12 (\frac{1}{4} {(\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2})}^{2} + \frac{- 1}{2 (2)} \cdot \frac{2 x}{2} + \frac{1}{8} \ln (| 2 (\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2}) + 1 |)) + C$

Schritt 22.3.3

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$12 (\frac{1}{4} {(\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2})}^{2} + \frac{- 1}{2 (2)} \cdot \frac{2 (x)}{2} + \frac{1}{8} \ln (| 2 (\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2}) + 1 |)) + C$

Schritt 22.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$12 (\frac{1}{4} {(\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2})}^{2} + \frac{- 1}{2 \cdot 2} \cdot \frac{2 x}{2} + \frac{1}{8} \ln (| 2 (\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2}) + 1 |)) + C$

Schritt 22.3.5

Forme den Ausdruck um.

$12 (\frac{1}{4} {(\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2})}^{2} + \frac{- 1}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{1}{8} \ln (| 2 (\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2}) + 1 |)) + C$

Schritt 22.4

Mutltipliziere $\frac{- 1}{2}$ mit $\frac{x}{2}$ .

$12 (\frac{1}{4} {(\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2})}^{2} + \frac{- x}{2 \cdot 2} + \frac{1}{8} \ln (| 2 (\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2}) + 1 |)) + C$

Schritt 22.5

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$12 (\frac{1}{4} {(\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2})}^{2} + \frac{- x}{4} + \frac{1}{8} \ln (| 2 (\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2}) + 1 |)) + C$

Schritt 22.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$12 (\frac{1}{4} {(\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{x}{4} + \frac{1}{8} \ln (| 2 (\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2}) + 1 |)) + C$

Schritt 22.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$12 (\frac{1}{4} {(\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{x}{4} + \frac{1}{8} \ln (| 2 \frac{2 x + 1 - 1}{2} + 1 |)) + C$

Schritt 22.8

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $2 x + 1 - 1$ .

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Schritt 22.8.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$12 (\frac{1}{4} {(\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{x}{4} + \frac{1}{8} \ln (| 2 \frac{2 x + 0}{2} + 1 |)) + C$

Schritt 22.8.2

Addiere $2 x$ und $0$ .

$12 (\frac{1}{4} {(\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{x}{4} + \frac{1}{8} \ln (| 2 \frac{2 x}{2} + 1 |)) + C$

Schritt 22.9

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 22.9.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$12 (\frac{1}{4} {(\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{x}{4} + \frac{1}{8} \ln (| 2 \frac{2 x}{2} + 1 |)) + C$

Schritt 22.9.2

Forme den Ausdruck um.

$12 (\frac{1}{4} {(\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{x}{4} + \frac{1}{8} \ln (| 2 x + 1 |)) + C$

Schritt 22.10

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 22.10.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$12 (\frac{1}{4} {(\frac{2 x + 1 - 1}{2})}^{2} - \frac{x}{4} + \frac{1}{8} \ln (| 2 x + 1 |)) + C$

Schritt 22.10.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $2 x + 1 - 1$ .

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Schritt 22.10.2.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$12 (\frac{1}{4} {(\frac{2 x + 0}{2})}^{2} - \frac{x}{4} + \frac{1}{8} \ln (| 2 x + 1 |)) + C$

Schritt 22.10.2.2

Addiere $2 x$ und $0$ .

$12 (\frac{1}{4} {(\frac{2 x}{2})}^{2} - \frac{x}{4} + \frac{1}{8} \ln (| 2 x + 1 |)) + C$

Schritt 22.10.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 22.10.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$12 (\frac{1}{4} {(\frac{2 x}{2})}^{2} - \frac{x}{4} + \frac{1}{8} \ln (| 2 x + 1 |)) + C$

Schritt 22.10.3.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$12 (\frac{1}{4} x^{2} - \frac{x}{4} + \frac{1}{8} \ln (| 2 x + 1 |)) + C$

Schritt 22.10.4

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $x^{2}$ .

$12 (\frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{4} + \frac{1}{8} \ln (| 2 x + 1 |)) + C$

Schritt 22.10.5

Kombiniere $\frac{1}{8}$ und $\ln (| 2 x + 1 |)$ .

$12 (\frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{4} + \frac{\ln (| 2 x + 1 |)}{8}) + C$

Schritt 22.11

Um $\frac{x^{2}}{4}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$12 (- \frac{x}{4} + \frac{x^{2}}{4} \cdot \frac{2}{2} + \frac{\ln (| 2 x + 1 |)}{8}) + C$

Schritt 22.12

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $8$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 22.12.1

Mutltipliziere $\frac{x^{2}}{4}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$12 (- \frac{x}{4} + \frac{x^{2} \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{\ln (| 2 x + 1 |)}{8}) + C$

Schritt 22.12.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$12 (- \frac{x}{4} + \frac{x^{2} \cdot 2}{8} + \frac{\ln (| 2 x + 1 |)}{8}) + C$

Schritt 22.13

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$12 (- \frac{x}{4} + \frac{x^{2} \cdot 2 + \ln (| 2 x + 1 |)}{8}) + C$

Schritt 22.14

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$12 (- \frac{x}{4} + \frac{2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |)}{8}) + C$

Schritt 22.15

Wende das Distributivgesetz an.

$12 (- \frac{x}{4}) + 12 \frac{2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |)}{8} + C$

Schritt 22.16

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 22.16.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{x}{4}$ in den Zähler.

$12 \frac{- x}{4} + 12 \frac{2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |)}{8} + C$

Schritt 22.16.2

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$4 (3) \frac{- x}{4} + 12 \frac{2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |)}{8} + C$

Schritt 22.16.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 \cdot 3 \frac{- x}{4} + 12 \frac{2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |)}{8} + C$

Schritt 22.16.4

Forme den Ausdruck um.

$3 (- x) + 12 \frac{2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |)}{8} + C$

Schritt 22.17

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$- 3 x + 12 \frac{2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |)}{8} + C$

Schritt 22.18

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 22.18.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$- 3 x + 4 (3) \frac{2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |)}{8} + C$

Schritt 22.18.2

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$- 3 x + 4 \cdot 3 \frac{2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |)}{4 \cdot 2} + C$

Schritt 22.18.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 3 x + 4 \cdot 3 \frac{2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |)}{4 \cdot 2} + C$

Schritt 22.18.4

Forme den Ausdruck um.

$- 3 x + 3 \frac{2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |)}{2} + C$

Schritt 22.19

Kombiniere $3$ und $\frac{2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |)}{2}$ .

$- 3 x + \frac{3 (2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |))}{2} + C$

Schritt 22.20

Um $- 3 x$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$- 3 x \cdot \frac{2}{2} + \frac{3 (2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |))}{2} + C$

Schritt 22.21

Kombiniere $- 3 x$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 3 x \cdot 2}{2} + \frac{3 (2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |))}{2} + C$

Schritt 22.22

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 3 x \cdot 2 + 3 (2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |))}{2} + C$

Schritt 22.23

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 22.23.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3 x \cdot 2 + 3 (2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |))$ heraus.

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Schritt 22.23.1.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3 x \cdot 2$ heraus.

$\frac{3 (- x \cdot 2) + 3 (2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |))}{2} + C$

Schritt 22.23.1.2

Faktorisiere $3$ aus $3 (- x \cdot 2) + 3 (2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |))$ heraus.

$\frac{3 (- x \cdot 2 + 2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |))}{2} + C$

Schritt 22.23.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{3 (- 2 x + 2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |))}{2} + C$

Schritt 22.24

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 x$ heraus.

$\frac{3 (- (2 x) + 2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |))}{2} + C$

Schritt 22.25

Faktorisiere $- 1$ aus $2 x^{2}$ heraus.

$\frac{3 (- (2 x) - (- 2 x^{2}) + \ln (| 2 x + 1 |))}{2} + C$

Schritt 22.26

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 x) - (- 2 x^{2})$ heraus.

$\frac{3 (- (2 x - 2 x^{2}) + \ln (| 2 x + 1 |))}{2} + C$

Schritt 22.27

Faktorisiere $- 1$ aus $\ln (| 2 x + 1 |)$ heraus.

$\frac{3 (- (2 x - 2 x^{2}) - 1 (- \ln (| 2 x + 1 |)))}{2} + C$

Schritt 22.28

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 x - 2 x^{2}) - 1 (- \ln (| 2 x + 1 |))$ heraus.

$\frac{3 (- (2 x - 2 x^{2} - \ln (| 2 x + 1 |)))}{2} + C$

Schritt 22.29

Schreibe $- (2 x - 2 x^{2} - \ln (| 2 x + 1 |))$ als $- 1 (2 x - 2 x^{2} - \ln (| 2 x + 1 |))$ um.

$\frac{3 (- 1 (2 x - 2 x^{2} - \ln (| 2 x + 1 |)))}{2} + C$

Schritt 22.30

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{3 (2 x - 2 x^{2} - \ln (| 2 x + 1 |))}{2} + C$

Schritt 23

Stelle die Terme um.

$- \frac{3}{2} (2 x - 2 x^{2} - \ln (| 2 x + 1 |)) + C$