Analysis Beispiele

$\int_{0}^{1} (x + 2) {(3 x^{2} + 12 x + 1)}^{\frac{1}{2}} d x$

Schritt 1

Sei $u = 3 x^{2} + 12 x + 1$ . Dann ist $d u = (6 x + 12) d x$ , folglich $\frac{1}{6} d u = (x + 2) d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = 3 x^{2} + 12 x + 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $3 x^{2} + 12 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2} + 12 x + 1]$

Schritt 1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x^{2} + 12 x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{2}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$6 x + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.1.4

Berechne $\frac{d}{d x} [12 x]$ .

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Schritt 1.1.4.1

Da $12$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $12 x$ nach $x$ gleich $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x + 12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$6 x + 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.1.4.3

Mutltipliziere $12$ mit $1$ .

$6 x + 12 + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.1.5

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.1.5.1

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$6 x + 12 + 0$

Schritt 1.1.5.2

Addiere $6 x + 12$ und $0$ .

$6 x + 12$

Schritt 1.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = 3 x^{2} + 12 x + 1$ ein.

$u_{lower} = 3 \cdot 0^{2} + 12 \cdot 0 + 1$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$u_{lower} = 3 \cdot 0 + 12 \cdot 0 + 1$

Schritt 1.3.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$u_{lower} = 0 + 12 \cdot 0 + 1$

Schritt 1.3.1.3

Mutltipliziere $12$ mit $0$ .

$u_{lower} = 0 + 0 + 1$

Schritt 1.3.2

Addiere $0$ und $0$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Schritt 1.3.3

Addiere $0$ und $1$ .

$u_{lower} = 1$

Schritt 1.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = 3 x^{2} + 12 x + 1$ ein.

$u_{upper} = 3 \cdot 1^{2} + 12 \cdot 1 + 1$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.5.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$u_{upper} = 3 \cdot 1 + 12 \cdot 1 + 1$

Schritt 1.5.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$u_{upper} = 3 + 12 \cdot 1 + 1$

Schritt 1.5.1.3

Mutltipliziere $12$ mit $1$ .

$u_{upper} = 3 + 12 + 1$

Schritt 1.5.2

Addiere $3$ und $12$ .

$u_{upper} = 15 + 1$

Schritt 1.5.3

Addiere $15$ und $1$ .

$u_{upper} = 16$

Schritt 1.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 16$

Schritt 1.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{1}^{16} u^{\frac{1}{2}} \frac{1}{6} d u$

Schritt 2

Kombiniere $u^{\frac{1}{2}}$ und $\frac{1}{6}$ .

$\int_{1}^{16} \frac{u^{\frac{1}{2}}}{6} d u$

Schritt 3

Da $\frac{1}{6}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{6}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{6} \int_{1}^{16} u^{\frac{1}{2}} d u$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{\frac{1}{2}}$ nach $u$ gleich $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{6} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{16}$

Schritt 5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.1

Berechne $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ bei $16$ und $1$ .

$\frac{1}{6} ((\frac{2}{3} \cdot 16^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Schritt 5.2

Vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$\frac{1}{6} (\frac{2}{3} \cdot {(4^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Schritt 5.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{6} (\frac{2}{3} \cdot 4^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Schritt 5.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{6} (\frac{2}{3} \cdot 4^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Schritt 5.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{6} (\frac{2}{3} \cdot 4^{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Schritt 5.2.4

Potenziere $4$ mit $3$ .

$\frac{1}{6} (\frac{2}{3} \cdot 64 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Schritt 5.3

Vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $64$ .

$\frac{1}{6} (\frac{2 \cdot 64}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Schritt 5.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $64$ .

$\frac{1}{6} (\frac{128}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Schritt 5.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.4.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1}{6} (\frac{128}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1)$

Schritt 5.4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1}{6} (\frac{128}{3} - \frac{2}{3})$

Schritt 5.5

Vereinfache.

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Schritt 5.5.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{6} \cdot \frac{128 - 2}{3}$

Schritt 5.5.2

Subtrahiere $2$ von $128$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{126}{3}$

Schritt 5.5.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $126$ und $3$ .

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Schritt 5.5.3.1

Faktorisiere $3$ aus $126$ heraus.

$\frac{1}{6} \cdot \frac{3 \cdot 42}{3}$

Schritt 5.5.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.5.3.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{1}{6} \cdot \frac{3 \cdot 42}{3 (1)}$

Schritt 5.5.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{6} \cdot \frac{3 \cdot 42}{3 \cdot 1}$

Schritt 5.5.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{6} \cdot \frac{42}{1}$

Schritt 5.5.3.2.4

Dividiere $42$ durch $1$ .

$\frac{1}{6} \cdot 42$

Schritt 5.6

Vereinfache.

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Schritt 5.6.1

Kombiniere $\frac{1}{6}$ und $42$ .

$\frac{42}{6}$

Schritt 5.6.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $42$ und $6$ .

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Schritt 5.6.2.1

Faktorisiere $6$ aus $42$ heraus.

$\frac{6 \cdot 7}{6}$

Schritt 5.6.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.6.2.2.1

Faktorisiere $6$ aus $6$ heraus.

$\frac{6 \cdot 7}{6 (1)}$

Schritt 5.6.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6 \cdot 7}{6 \cdot 1}$

Schritt 5.6.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{7}{1}$

Schritt 5.6.2.2.4

Dividiere $7$ durch $1$ .

$7$