Analysis Beispiele

$\int x^{2} \sec^{2} (x^{3}) d x$

Schritt 1

Sei $u = x^{3}$ . Dann ist $d u = 3 x^{2} d x$ , folglich $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = x^{3}$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 x^{2}$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \sec^{2} (u) \frac{1}{3} d u$

Schritt 2

Kombiniere $\sec^{2} (u)$ und $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{\sec^{2} (u)}{3} d u$

Schritt 3

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{3} \int \sec^{2} (u) d u$

Schritt 4

Da die Ableitung von $\tan (u)$ gleich $\sec^{2} (u)$ ist, ist das Integral von $\sec^{2} (u)$ gleich $\tan (u)$ .

$\frac{1}{3} (\tan (u) + C)$

Schritt 5

Vereinfache.

$\frac{1}{3} \tan (u) + C$

Schritt 6

Ersetze alle $u$ durch $x^{3}$ .

$\frac{1}{3} \tan (x^{3}) + C$