Analysis Beispiele

$\int 5 x^{3} \sqrt{1 - x^{2}} d x$

Schritt 1

Sei $u = 1 - x^{2}$ . Dann ist $d u = - 2 x d x$ , folglich $- \frac{1}{2} d u = x d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = 1 - x^{2}$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $1 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Schritt 1.1.2

Differenziere.

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Schritt 1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 1.1.2.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$0 - (2 x)$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$0 - 2 x$

Schritt 1.1.4

Subtrahiere $2 x$ von $0$ .

$- 2 x$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int 5 {\sqrt{- u + 1}}^{2} \sqrt{u} \frac{1}{- 2} d u$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Schreibe ${\sqrt{- u + 1}}^{2}$ als $- u + 1$ um.

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Schritt 2.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{- u + 1}$ als ${(- u + 1)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int 5 {({(- u + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \sqrt{u} \frac{1}{- 2} d u$

Schritt 2.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int 5 {(- u + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \sqrt{u} \frac{1}{- 2} d u$

Schritt 2.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\int 5 {(- u + 1)}^{\frac{2}{2}} \sqrt{u} \frac{1}{- 2} d u$

Schritt 2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int 5 {(- u + 1)}^{\frac{2}{2}} \sqrt{u} \frac{1}{- 2} d u$

Schritt 2.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\int 5 {(- u + 1)}^{1} \sqrt{u} \frac{1}{- 2} d u$

Schritt 2.1.5

Vereinfache.

$\int 5 (- u + 1) \sqrt{u} \frac{1}{- 2} d u$

Schritt 2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int 5 (- u + 1) \sqrt{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$\int - 5 (- u + 1) \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

Schritt 2.4

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 5$ .

$\int \frac{- 5}{2} (- u + 1) \sqrt{u} d u$

Schritt 2.5

Kombiniere $\sqrt{u}$ und $\frac{- 5}{2}$ .

$\int \frac{\sqrt{u} \cdot - 5}{2} (- u + 1) d u$

Schritt 2.6

Bringe $- 5$ auf die linke Seite von $\sqrt{u}$ .

$\int \frac{- 5 \cdot \sqrt{u}}{2} (- u + 1) d u$

Schritt 2.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int - \frac{5 \sqrt{u}}{2} (- u + 1) d u$

Schritt 3

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int \frac{5 \sqrt{u}}{2} (- u + 1) d u$

Schritt 4

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u}$ als $u^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$- \int \frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2} (- u + 1) d u$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- \int \frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2} (- u) + \frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2} \cdot 1 d u$

Schritt 5.2

Stelle $\frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2}$ und $- 1$ um.

$- \int - 1 \cdot \frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2} u + \frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2} \cdot 1 d u$

Schritt 5.3

Stelle $\frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2}$ und $1$ um.

$- \int - 1 \cdot \frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2} u + 1 \cdot \frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Schritt 5.4

Kombiniere $\frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2}$ und $u$ .

$- \int - 1 \frac{5 u^{\frac{1}{2}} u}{2} + 1 \frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Schritt 5.5

Potenziere $u$ mit $1$ .

$- \int - 1 \frac{5 (u^{\frac{1}{2}} u^{1})}{2} + 1 \frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Schritt 5.6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \int - 1 \frac{5 u^{\frac{1}{2} + 1}}{2} + 1 \frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Schritt 5.7

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$- \int - 1 \frac{5 u^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}{2} + 1 \frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Schritt 5.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \int - 1 \frac{5 u^{\frac{1 + 2}{2}}}{2} + 1 \frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Schritt 5.9

Addiere $1$ und $2$ .

$- \int - 1 \frac{5 u^{\frac{3}{2}}}{2} + 1 \frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Schritt 5.10

Mutltipliziere $\frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2}$ mit $1$ .

$- \int - 1 \frac{5 u^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Schritt 5.11

Stelle $- 1 \frac{5 u^{\frac{3}{2}}}{2}$ und $\frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2}$ um.

$- \int \frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{5 u^{\frac{3}{2}}}{2} d u$

Schritt 6

Schreibe $- 1 \frac{5 u^{\frac{3}{2}}}{2}$ als $- \frac{5 u^{\frac{3}{2}}}{2}$ um.

$- \int \frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{5 u^{\frac{3}{2}}}{2} d u$

Schritt 7

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$- (\int \frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2} d u + \int - \frac{5 u^{\frac{3}{2}}}{2} d u)$

Schritt 8

Da $\frac{5}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{5}{2}$ aus dem Integral.

$- (\frac{5}{2} \int u^{\frac{1}{2}} d u + \int - \frac{5 u^{\frac{3}{2}}}{2} d u)$

Schritt 9

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{\frac{1}{2}}$ nach $u$ gleich $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$- (\frac{5}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C) + \int - \frac{5 u^{\frac{3}{2}}}{2} d u)$

Schritt 10

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $u^{\frac{3}{2}}$ .

$- (\frac{5}{2} (\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + \int - \frac{5 u^{\frac{3}{2}}}{2} d u)$

Schritt 11

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- (\frac{5}{2} (\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} + C) - \int \frac{5 u^{\frac{3}{2}}}{2} d u)$

Schritt 12

Da $\frac{5}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{5}{2}$ aus dem Integral.

$- (\frac{5}{2} (\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} + C) - (\frac{5}{2} \int u^{\frac{3}{2}} d u))$

Schritt 13

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{\frac{3}{2}}$ nach $u$ gleich $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$- (\frac{5}{2} (\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} + C) - \frac{5}{2} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C))$

Schritt 14

Vereinfache.

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Schritt 14.1

Kombiniere $\frac{2}{5}$ und $u^{\frac{5}{2}}$ .

$- (\frac{5}{2} (\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} + C) - \frac{5}{2} (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C))$

Schritt 14.2

Vereinfache.

$- (\frac{5 u^{\frac{3}{2}}}{3} - u^{\frac{5}{2}}) + C$

Schritt 14.3

Stelle die Terme um.

$- (\frac{5}{3} u^{\frac{3}{2}} - u^{\frac{5}{2}}) + C$

Schritt 15

Ersetze alle $u$ durch $1 - x^{2}$ .

$- (\frac{5}{3} {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} - {(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}}) + C$

Schritt 16

Vereinfache.

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Schritt 16.1

Kombiniere $\frac{5}{3}$ und ${(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}$ .

$- (\frac{5 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - {(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}}) + C$

Schritt 16.2

Um $- {(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$- (\frac{5 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - {(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}} \cdot \frac{3}{3}) + C$

Schritt 16.3

Kombiniere $- {(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}}$ und $\frac{3}{3}$ .

$- (\frac{5 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- {(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}} \cdot 3}{3}) + C$

Schritt 16.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{5 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} - {(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}} \cdot 3}{3} + C$

Schritt 16.5

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$- \frac{5 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} - 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}}}{3} + C$

Schritt 17

Stelle die Terme um.

$- \frac{1}{3} (5 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} - 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}}) + C$