Analysis Beispiele

$\int x^{2} e^{3 x} d x$

Schritt 1

Sei $u_{1} = 3 x$ . Dann ist $d u_{1} = 3 d x$ , folglich $\frac{1}{3} d u_{1} = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u_{1} = 3 x$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Schritt 1.1.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Schritt 1.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$3$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$\int {(\frac{u_{1}}{3})}^{2} e^{u_{1}} \frac{1}{3} d u_{1}$

Schritt 2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $e^{u_{1}}$ .

$\int {(\frac{u_{1}}{3})}^{2} \frac{e^{u_{1}}}{3} d u_{1}$

Schritt 3

Sei $u_{2} = \frac{u_{1}}{3}$ . Dann ist $d u_{2} = \frac{1}{3} d u_{1}$ , folglich $3 d u_{2} = d u_{1}$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 3.1

Es sei $u_{2} = \frac{u_{1}}{3}$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Schritt 3.1.1

Differenziere $\frac{u_{1}}{3}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{3}]$

Schritt 3.1.2

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ist die Ableitung von $\frac{u_{1}}{3}$ nach $u_{1}$ gleich $\frac{1}{3} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Schritt 3.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1$

Schritt 3.1.4

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $1$ .

$\frac{1}{3}$

Schritt 3.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$\int {u_{2}}^{2} e^{3 u_{2}} d u_{2}$

Schritt 4

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = {u_{2}}^{2}$ und $d v = e^{3 u_{2}}$ .

${u_{2}}^{2} (\frac{1}{3} e^{u_{3}}) - \int \frac{1}{3} e^{u_{3}} (2 u_{2}) d u_{2}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $e^{u_{3}}$ .

${u_{2}}^{2} \frac{e^{u_{3}}}{3} - \int \frac{1}{3} e^{u_{3}} (2 u_{2}) d u_{2}$

Schritt 5.2

Kombiniere ${u_{2}}^{2}$ und $\frac{e^{u_{3}}}{3}$ .

$\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{3} - \int \frac{1}{3} e^{u_{3}} (2 u_{2}) d u_{2}$

Schritt 6

Da $\frac{1}{3} e^{u_{3}} \cdot 2$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $\frac{1}{3} e^{u_{3}} \cdot 2$ aus dem Integral.

$\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{3} - (\frac{1}{3} e^{u_{3}} \cdot 2 \int u_{2} d u_{2})$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $e^{u_{3}}$ .

$\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{3} - (\frac{e^{u_{3}}}{3} \cdot 2 \int u_{2} d u_{2})$

Schritt 7.2

Kombiniere $\frac{e^{u_{3}}}{3}$ und $2$ .

$\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{3} - (\frac{e^{u_{3}} \cdot 2}{3} \int u_{2} d u_{2})$

Schritt 7.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $e^{u_{3}}$ .

$\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{3} - \frac{2 e^{u_{3}}}{3} \int u_{2} d u_{2}$

Schritt 8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u_{2}$ nach $u_{2}$ gleich $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{3} - \frac{2 e^{u_{3}}}{3} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${u_{2}}^{2}$ .

$\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{3} - \frac{2 e^{u_{3}}}{3} (\frac{{u_{2}}^{2}}{2} + C)$

Schritt 9.2

Schreibe $\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{3} - \frac{2 e^{u_{3}}}{3} (\frac{{u_{2}}^{2}}{2} + C)$ als $\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{3} + \frac{- e^{u_{3}} {u_{2}}^{2}}{3} + C$ um.

$\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{3} + \frac{- e^{u_{3}} {u_{2}}^{2}}{3} + C$

Schritt 9.3

Vereinfache.

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Schritt 9.3.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und ${u_{2}}^{2}$ .

$\frac{{u_{2}}^{2}}{3} e^{u_{3}} + \frac{- 1}{3} e^{u_{3}} {u_{2}}^{2} + C$

Schritt 9.3.2

Kombiniere $\frac{{u_{2}}^{2}}{3}$ und $e^{u_{3}}$ .

$\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{3} + \frac{- 1}{3} e^{u_{3}} {u_{2}}^{2} + C$

Schritt 9.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{3} - \frac{1}{3} e^{u_{3}} {u_{2}}^{2} + C$

Schritt 9.3.4

Kombiniere $e^{u_{3}}$ und $\frac{1}{3}$ .

$\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{3} - \frac{e^{u_{3}}}{3} {u_{2}}^{2} + C$

Schritt 9.3.5

Kombiniere ${u_{2}}^{2}$ und $\frac{e^{u_{3}}}{3}$ .

$\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{3} - \frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{3} + C$

Schritt 9.3.6

Subtrahiere $\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{3}$ von $\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{3}$ .

$0 + C$

Schritt 9.3.7

Addiere $0$ und $C$ .

$C$