Analysis Beispiele

$\int (x^{2} + 1) {(x^{3} + 3 x)}^{4} d x$

Schritt 1

Sei $u = x^{3} + 3 x$ . Dann ist $d u = (3 x^{2} + 3) d x$ , folglich $\frac{1}{3} d u = (x^{2} + 1) d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = x^{3} + 3 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $x^{3} + 3 x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} + 3 x]$

Schritt 1.1.2

Differenziere.

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Schritt 1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} + 3 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 x^{2} + 3 \cdot 1$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$3 x^{2} + 3$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int u^{4} \frac{1}{3} d u$

Schritt 2

Kombiniere $u^{4}$ und $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{u^{4}}{3} d u$

Schritt 3

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{3} \int u^{4} d u$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{4}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{1}{5} u^{5} + C)$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Schreibe $\frac{1}{3} (\frac{1}{5} u^{5} + C)$ als $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{5} u^{5} + C$ um.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{5} u^{5} + C$

Schritt 5.2

Schreibe $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{5} u^{5} + C$ als $\frac{1}{15} u^{5} + C$ um.

$\frac{1}{15} u^{5} + C$

Schritt 6

Ersetze alle $u$ durch $x^{3} + 3 x$ .

$\frac{1}{15} {(x^{3} + 3 x)}^{5} + C$