Analysis Beispiele

$\int \frac{1}{2 \sqrt{x}} d x$

Schritt 1

Mutltipliziere $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$ mit $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$\int \frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}} d x$

Schritt 2

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$ mit $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$\int \frac{\sqrt{x}}{2 \sqrt{x} \sqrt{x}} d x$

Schritt 2.2

Bewege $\sqrt{x}$ .

$\int \frac{\sqrt{x}}{2 (\sqrt{x} \sqrt{x})} d x$

Schritt 2.3

Potenziere $\sqrt{x}$ mit $1$ .

$\int \frac{\sqrt{x}}{2 ({\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x})} d x$

Schritt 2.4

Potenziere $\sqrt{x}$ mit $1$ .

$\int \frac{\sqrt{x}}{2 ({\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1})} d x$

Schritt 2.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int \frac{\sqrt{x}}{2 {\sqrt{x}}^{1 + 1}} d x$

Schritt 2.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\int \frac{\sqrt{x}}{2 {\sqrt{x}}^{2}} d x$

Schritt 2.7

Schreibe ${\sqrt{x}}^{2}$ als $x$ um.

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Schritt 2.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int \frac{\sqrt{x}}{2 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}} d x$

Schritt 2.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \frac{\sqrt{x}}{2 x^{\frac{1}{2} \cdot 2}} d x$

Schritt 2.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\int \frac{\sqrt{x}}{2 x^{\frac{2}{2}}} d x$

Schritt 2.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int \frac{\sqrt{x}}{2 x^{\frac{2}{2}}} d x$

Schritt 2.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\int \frac{\sqrt{x}}{2 x^{1}} d x$

Schritt 2.7.5

Vereinfache.

$\int \frac{\sqrt{x}}{2 x} d x$

Schritt 3

Sei $u_{1} = 2 x$ . Dann ist $d u_{1} = 2 d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 3.1

Es sei $u_{1} = 2 x$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Schritt 3.1.1

Differenziere $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 3.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 3.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 3.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$\int \frac{\sqrt{\frac{u_{1}}{2}}}{u_{1}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{\frac{u_{1}}{2}}}{u_{1}}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{\sqrt{\frac{u_{1}}{2}}}{u_{1} \cdot 2} d u_{1}$

Schritt 4.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u_{1}$ .

$\int \frac{\sqrt{\frac{u_{1}}{2}}}{2 u_{1}} d u_{1}$

Schritt 5

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{\sqrt{\frac{u_{1}}{2}}}{u_{1}} d u_{1}$

Schritt 6

Sei $u_{2} = \frac{u_{1}}{2}$ . Dann ist $d u_{2} = \frac{1}{2} d u_{1}$ , folglich $2 d u_{2} = d u_{1}$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 6.1

Es sei $u_{2} = \frac{u_{1}}{2}$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Schritt 6.1.1

Differenziere $\frac{u_{1}}{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{2}]$

Schritt 6.1.2

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ist die Ableitung von $\frac{u_{1}}{2}$ nach $u_{1}$ gleich $\frac{1}{2} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Schritt 6.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1$

Schritt 6.1.4

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $1$ .

$\frac{1}{2}$

Schritt 6.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$\frac{1}{2} \int \frac{\sqrt{u_{2}}}{2 u_{2}} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2}} d u_{2}$

Schritt 7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 7.1

Vereinfache.

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Schritt 7.1.1

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{1}{2}$ zu dividieren.

$\frac{1}{2} \int \frac{\sqrt{u_{2}}}{2 u_{2}} (1 \cdot 2) d u_{2}$

Schritt 7.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{\sqrt{u_{2}}}{2 u_{2}} \cdot 2 d u_{2}$

Schritt 7.1.3

Kombiniere $\frac{\sqrt{u_{2}}}{2 u_{2}}$ und $2$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{\sqrt{u_{2}} \cdot 2}{2 u_{2}} d u_{2}$

Schritt 7.1.4

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\sqrt{u_{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{2 \cdot \sqrt{u_{2}}}{2 u_{2}} d u_{2}$

Schritt 7.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.1.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2} \int \frac{2 \sqrt{u_{2}}}{2 u_{2}} d u_{2}$

Schritt 7.1.5.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2} \int \frac{\sqrt{u_{2}}}{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 7.2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u_{2}}$ als ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{1}{2} \int \frac{{u_{2}}^{\frac{1}{2}}}{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 7.3

Vereinfache.

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Schritt 7.3.1

Bringe ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{2}}} d u_{2}$

Schritt 7.3.2

Multipliziere $u_{2}$ mit ${u_{2}}^{- \frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 7.3.2.1

Mutltipliziere $u_{2}$ mit ${u_{2}}^{- \frac{1}{2}}$ .

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Schritt 7.3.2.1.1

Potenziere $u_{2}$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{2}}^{1} {u_{2}}^{- \frac{1}{2}}} d u_{2}$

Schritt 7.3.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{2}}^{1 - \frac{1}{2}}} d u_{2}$

Schritt 7.3.2.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{2}}^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d u_{2}$

Schritt 7.3.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{2}}^{\frac{2 - 1}{2}}} d u_{2}$

Schritt 7.3.2.4

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{2}}^{\frac{1}{2}}} d u_{2}$

Schritt 7.4

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 7.4.1

Bringe ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int {({u_{2}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u_{2}$

Schritt 7.4.2

Multipliziere die Exponenten in ${({u_{2}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 7.4.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u_{2}$

Schritt 7.4.2.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{\frac{- 1}{2}} d u_{2}$

Schritt 7.4.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} d u_{2}$

Schritt 8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von ${u_{2}}^{- \frac{1}{2}}$ nach $u_{2}$ gleich $2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C)$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Schreibe $\frac{1}{2} (2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C)$ als $\frac{1}{2} \cdot 2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$ um.

$\frac{1}{2} \cdot 2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

Schritt 9.2

Schreibe $\frac{1}{2} \cdot 2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$ als $1 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$ um.

$1 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

Schritt 9.3

Mutltipliziere ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ mit $1$ .

${u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

Schritt 10

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

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Schritt 10.1

Ersetze alle $u_{2}$ durch $\frac{u_{1}}{2}$ .

${(\frac{u_{1}}{2})}^{\frac{1}{2}} + C$

Schritt 10.2

Ersetze alle $u_{1}$ durch $2 x$ .

${(\frac{2 x}{2})}^{\frac{1}{2}} + C$

Schritt 11

Vereinfache.

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Schritt 11.1

Vereinfache den Ausdruck $\frac{2 x}{2}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 11.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(\frac{2 x}{2})}^{\frac{1}{2}} + C$

Schritt 11.1.2

Forme den Ausdruck um.

${(\frac{x}{1})}^{\frac{1}{2}} + C$

Schritt 11.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x^{\frac{1}{2}} + C$