Analysis Beispiele

$\int \sin^{-1} (x) d x$

Schritt 1

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = \sin^{-1} (x)$ und $d v = 1$ .

$\sin^{-1} (x) x - \int x \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$

Schritt 2

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ .

$\sin^{-1} (x) x - \int \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$

Schritt 3

Sei $u = 1 - x^{2}$ . Dann ist $d u = - 2 x d x$ , folglich $- \frac{1}{2} d u = x d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 3.1

Es sei $u = 1 - x^{2}$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 3.1.1

Differenziere $1 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Schritt 3.1.2

Differenziere.

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Schritt 3.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 3.1.2.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 3.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Schritt 3.1.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$0 - (2 x)$

Schritt 3.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$0 - 2 x$

Schritt 3.1.4

Subtrahiere $2 x$ von $0$ .

$- 2 x$

Schritt 3.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\sin^{-1} (x) x - \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 2} d u$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\sin^{-1} (x) x - \int \frac{1}{\sqrt{u}} (- \frac{1}{2}) d u$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{u}}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\sin^{-1} (x) x - \int - \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 2} d u$

Schritt 4.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\sqrt{u}$ .

$\sin^{-1} (x) x - \int - \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

Schritt 5

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\sin^{-1} (x) x - - \int \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\sin^{-1} (x) x + 1 \int \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $\int \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$ mit $1$ .

$\sin^{-1} (x) x + \int \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

Schritt 7

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\sin^{-1} (x) x + \frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Schritt 8

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 8.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u}$ als $u^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sin^{-1} (x) x + \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Schritt 8.2

Bringe $u^{\frac{1}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\sin^{-1} (x) x + \frac{1}{2} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Schritt 8.3

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 8.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin^{-1} (x) x + \frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Schritt 8.3.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$\sin^{-1} (x) x + \frac{1}{2} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Schritt 8.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\sin^{-1} (x) x + \frac{1}{2} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Schritt 9

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{- \frac{1}{2}}$ nach $u$ gleich $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin^{-1} (x) x + \frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

Schritt 10

Schreibe $\sin^{-1} (x) x + \frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$ als $\sin^{-1} (x) x + u^{\frac{1}{2}} + C$ um.

$\sin^{-1} (x) x + u^{\frac{1}{2}} + C$

Schritt 11

Ersetze alle $u$ durch $1 - x^{2}$ .

$\sin^{-1} (x) x + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C$