Analysis Beispiele

$\int \frac{\sin (x)}{{(4 - \cos (x))}^{3}} d x$

Schritt 1

Sei $u = 4 - \cos (x)$ . Dann ist $d u = \sin (x) d x$ , folglich $\frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = 4 - \cos (x)$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $4 - \cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [4 - \cos (x)]$

Schritt 1.1.2

Differenziere.

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Schritt 1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 - \cos (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Schritt 1.1.2.2

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \cos (x)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Schritt 1.1.3.2

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$0 - - \sin (x)$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$0 + 1 \sin (x)$

Schritt 1.1.3.4

Mutltipliziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$0 + \sin (x)$

Schritt 1.1.4

Addiere $0$ und $\sin (x)$ .

$\sin (x)$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \frac{1}{u^{3}} d u$

Schritt 2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.1

Bringe $u^{3}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int {(u^{3})}^{- 1} d u$

Schritt 2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{3})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int u^{3 \cdot - 1} d u$

Schritt 2.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\int u^{- 3} d u$

Schritt 3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{- 3}$ nach $u$ gleich $- \frac{1}{2} u^{- 2}$ .

$- \frac{1}{2} u^{- 2} + C$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Schreibe $- \frac{1}{2} u^{- 2} + C$ als $- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{u^{2}} + C$ um.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{u^{2}} + C$

Schritt 4.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u^{2}}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{u^{2} \cdot 2} + C$

Schritt 4.2.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u^{2}$ .

$- \frac{1}{2 u^{2}} + C$

Schritt 5

Ersetze alle $u$ durch $4 - \cos (x)$ .

$- \frac{1}{2 {(4 - \cos (x))}^{2}} + C$