Analysis Beispiele

$\int \frac{x^{2}}{x + 1} d x$

Schritt 1

Sei $u = x + 1$ . Dann ist $d u = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Es sei $u = x + 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Differenziere $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Schritt 1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.1.4

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 1.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \frac{{(u - 1)}^{2}}{u} d u$

Schritt 2

Vereinfache durch Ausmultiplizieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Schreibe ${(u - 1)}^{2}$ als $(u - 1) (u - 1)$ um.

$\int \frac{(u - 1) (u - 1)}{u} d u$

Schritt 2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\int \frac{u (u - 1) - 1 (u - 1)}{u} d u$

Schritt 2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\int \frac{u \cdot u + u \cdot - 1 - 1 (u - 1)}{u} d u$

Schritt 2.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\int \frac{u \cdot u + u \cdot - 1 - 1 u - 1 \cdot - 1}{u} d u$

Schritt 2.5

Stelle $u$ und $- 1$ um.

$\int \frac{u \cdot u - 1 \cdot u - 1 u - 1 \cdot - 1}{u} d u$

Schritt 3

Potenziere $u$ mit $1$ .

$\int \frac{u^{1} u - 1 u - 1 u - 1 \cdot - 1}{u} d u$

Schritt 4

Potenziere $u$ mit $1$ .

$\int \frac{u^{1} u^{1} - 1 u - 1 u - 1 \cdot - 1}{u} d u$

Schritt 5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int \frac{u^{1 + 1} - 1 u - 1 u - 1 \cdot - 1}{u} d u$

Schritt 6

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Addiere $1$ und $1$ .

$\int \frac{u^{2} - 1 u - 1 u - 1 \cdot - 1}{u} d u$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\int \frac{u^{2} - 1 u - 1 u + 1}{u} d u$

Schritt 7

Subtrahiere $1 u$ von $- 1 u$ .

$\int \frac{u^{2} - 2 u + 1}{u} d u$

Schritt 8

Dividiere $u^{2} - 2 u + 1$ durch $u$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$u$

$0$

$u^{2}$

$2 u$

$1$

Schritt 8.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $u^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $u$ .

					$u$
	$u$	+	$0$		$u^{2}$	-	$2 u$	+	$1$

Schritt 8.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$u$
$u$	+	$0$		$u^{2}$	-	$2 u$	+	$1$
			+	$u^{2}$	+	$0$

Schritt 8.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $u^{2} + 0$

				$u$
$u$	+	$0$		$u^{2}$	-	$2 u$	+	$1$
			-	$u^{2}$	-	$0$

Schritt 8.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$u$
$u$	+	$0$		$u^{2}$	-	$2 u$	+	$1$
			-	$u^{2}$	-	$0$
					-	$2 u$

Schritt 8.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$u$
$u$	+	$0$		$u^{2}$	-	$2 u$	+	$1$
			-	$u^{2}$	-	$0$
					-	$2 u$	+	$1$

Schritt 8.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 2 u$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $u$ .

				$u$	-	$2$
$u$	+	$0$		$u^{2}$	-	$2 u$	+	$1$
			-	$u^{2}$	-	$0$
					-	$2 u$	+	$1$

Schritt 8.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$u$	-	$2$
$u$	+	$0$		$u^{2}$	-	$2 u$	+	$1$
			-	$u^{2}$	-	$0$
					-	$2 u$	+	$1$
					-	$2 u$	+	$0$

Schritt 8.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 2 u + 0$

				$u$	-	$2$
$u$	+	$0$		$u^{2}$	-	$2 u$	+	$1$
			-	$u^{2}$	-	$0$
					-	$2 u$	+	$1$
					+	$2 u$	-	$0$

Schritt 8.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$u$	-	$2$
$u$	+	$0$		$u^{2}$	-	$2 u$	+	$1$
			-	$u^{2}$	-	$0$
					-	$2 u$	+	$1$
					+	$2 u$	-	$0$
							+	$1$

Schritt 8.11

Die endgültige Lösung ist der Quotient plus dem Rest geteilt durch den Divisor.

$\int u - 2 + \frac{1}{u} d u$

Schritt 9

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int u d u + \int - 2 d u + \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 10

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u$ nach $u$ gleich $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{2} + C + \int - 2 d u + \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 11

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{2} u^{2} + C - 2 u + C + \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 12

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} u^{2} + C - 2 u + C + \ln (| u |) + C$

Schritt 13

Vereinfache.

$\frac{1}{2} u^{2} - 2 u + \ln (| u |) + C$

Schritt 14

Ersetze alle $u$ durch $x + 1$ .

$\frac{1}{2} {(x + 1)}^{2} - 2 (x + 1) + \ln (| x + 1 |) + C$