Analysis Beispiele

$\int \frac{{(\sqrt{x} - 1)}^{2}}{\sqrt{x}} d x$

Schritt 1

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int \frac{{(x^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2}}{\sqrt{x}} d x$

Schritt 1.2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int \frac{{(x^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2}}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Schritt 1.3

Bringe $x^{\frac{1}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int {(x^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Schritt 1.4

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 1.4.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int {(x^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2} x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Schritt 1.4.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$\int {(x^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2} x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Schritt 1.4.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int {(x^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2} x^{- \frac{1}{2}} d x$

Schritt 2

Sei $u = x^{\frac{1}{2}} - 1$ . Dann ist $d u = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ , folglich $- d u = \frac{- 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u = x^{\frac{1}{2}} - 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $x^{\frac{1}{2}} - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} - 1]$

Schritt 2.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{\frac{1}{2}} - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

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Schritt 2.1.3.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.1.3.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.1.3.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.1.3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.1.3.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1.3.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.1.3.5.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.1.3.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.1.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 0$

Schritt 2.1.5

Vereinfache.

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Schritt 2.1.5.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 0$

Schritt 2.1.5.2

Vereine die Terme

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Schritt 2.1.5.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0$

Schritt 2.1.5.2.2

Addiere $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ und $0$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int 2 u^{2} d u$

Schritt 3

Da $2$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 \int u^{2} d u$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{2}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$2 (\frac{1}{3} u^{3} + C)$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Schreibe $2 (\frac{1}{3} u^{3} + C)$ als $2 (\frac{1}{3}) u^{3} + C$ um.

$2 (\frac{1}{3}) u^{3} + C$

Schritt 5.2

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{3}$ .

$\frac{2}{3} u^{3} + C$

Schritt 6

Ersetze alle $u$ durch $x^{\frac{1}{2}} - 1$ .

$\frac{2}{3} {(x^{\frac{1}{2}} - 1)}^{3} + C$