Analysis Beispiele

$\int \frac{1}{y \sqrt{y}} d y$

Schritt 1

Das Integral konnte nicht mittels Substitution gelöst werden. Mathway wird eine andere Methode benutzen.

Schritt 2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.1

Vereinfache.

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Schritt 2.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{y}$ als $y^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int \frac{1}{y \cdot y^{\frac{1}{2}}} d y$

Schritt 2.1.2

Multipliziere $y$ mit $y^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.1.2.1

Mutltipliziere $y$ mit $y^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 2.1.2.1.1

Potenziere $y$ mit $1$ .

$\int \frac{1}{y^{1} y^{\frac{1}{2}}} d y$

Schritt 2.1.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int \frac{1}{y^{1 + \frac{1}{2}}} d y$

Schritt 2.1.2.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\int \frac{1}{y^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}} d y$

Schritt 2.1.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\int \frac{1}{y^{\frac{2 + 1}{2}}} d y$

Schritt 2.1.2.4

Addiere $2$ und $1$ .

$\int \frac{1}{y^{\frac{3}{2}}} d y$

Schritt 2.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.2.1

Bringe $y^{\frac{3}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int {(y^{\frac{3}{2}})}^{- 1} d y$

Schritt 2.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{\frac{3}{2} \cdot - 1} d y$

Schritt 2.2.2.2

Multipliziere $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

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Schritt 2.2.2.2.1

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und $- 1$ .

$\int y^{\frac{3 \cdot - 1}{2}} d y$

Schritt 2.2.2.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\int y^{\frac{- 3}{2}} d y$

Schritt 2.2.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int y^{- \frac{3}{2}} d y$

Schritt 3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{- \frac{3}{2}}$ nach $y$ gleich $- 2 y^{- \frac{1}{2}}$ .

$- 2 y^{- \frac{1}{2}} + C$

Schritt 4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1

Schreibe $- 2 y^{- \frac{1}{2}} + C$ als $- 2 \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} + C$ um.

$- 2 \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} + C$

Schritt 4.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 2}{y^{\frac{1}{2}}} + C$

Schritt 4.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2}{y^{\frac{1}{2}}} + C$