Analysis Beispiele

$\int_{0}^{13} \frac{1}{\sqrt[3]{{(1 + 2 x)}^{2}}} d x$

Schritt 1

Sei $u = 1 + 2 x$ . Dann ist $d u = 2 d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = 1 + 2 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $1 + 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [1 + 2 x]$

Schritt 1.1.2

Differenziere.

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Schritt 1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + 2 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 1.1.2.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + 2 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 + 2 \cdot 1$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$0 + 2$

Schritt 1.1.4

Addiere $0$ und $2$ .

$2$

Schritt 1.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = 1 + 2 x$ ein.

$u_{lower} = 1 + 2 \cdot 0$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Schritt 1.3.2

Addiere $1$ und $0$ .

$u_{lower} = 1$

Schritt 1.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = 1 + 2 x$ ein.

$u_{upper} = 1 + 2 \cdot 13$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $13$ .

$u_{upper} = 1 + 26$

Schritt 1.5.2

Addiere $1$ und $26$ .

$u_{upper} = 27$

Schritt 1.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 27$

Schritt 1.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{1}^{27} \frac{1}{\sqrt[3]{u^{2}}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt[3]{u^{2}}}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\int_{1}^{27} \frac{1}{\sqrt[3]{u^{2}} \cdot 2} d u$

Schritt 2.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\sqrt[3]{u^{2}}$ .

$\int_{1}^{27} \frac{1}{2 \sqrt[3]{u^{2}}} d u$

Schritt 3

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{27} \frac{1}{\sqrt[3]{u^{2}}} d u$

Schritt 4

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{u^{2}}$ als $u^{\frac{2}{3}}$ neu zu schreiben.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{27} \frac{1}{u^{\frac{2}{3}}} d u$

Schritt 4.2

Bringe $u^{\frac{2}{3}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int_{1}^{27} {(u^{\frac{2}{3}})}^{- 1} d u$

Schritt 4.3

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

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Schritt 4.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int_{1}^{27} u^{\frac{2}{3} \cdot - 1} d u$

Schritt 4.3.2

Multipliziere $\frac{2}{3} \cdot - 1$ .

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Schritt 4.3.2.1

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int_{1}^{27} u^{\frac{2 \cdot - 1}{3}} d u$

Schritt 4.3.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int_{1}^{27} u^{\frac{- 2}{3}} d u$

Schritt 4.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{27} u^{- \frac{2}{3}} d u$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{- \frac{2}{3}}$ nach $u$ gleich $3 u^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{1}{2} 3 u^{\frac{1}{3}}]_{1}^{27}$

Schritt 6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.1

Berechne $3 u^{\frac{1}{3}}$ bei $27$ und $1$ .

$\frac{1}{2} ((3 \cdot 27^{\frac{1}{3}}) - 3 \cdot 1^{\frac{1}{3}})$

Schritt 6.2

Vereinfache.

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Schritt 6.2.1

Schreibe $27$ als $3^{3}$ um.

$\frac{1}{2} (3 \cdot {(3^{3})}^{\frac{1}{3}} - 3 \cdot 1^{\frac{1}{3}})$

Schritt 6.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} (3 \cdot 3^{3 (\frac{1}{3})} - 3 \cdot 1^{\frac{1}{3}})$

Schritt 6.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 6.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2} (3 \cdot 3^{3 (\frac{1}{3})} - 3 \cdot 1^{\frac{1}{3}})$

Schritt 6.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2} (3 \cdot 3^{1} - 3 \cdot 1^{\frac{1}{3}})$

Schritt 6.2.4

Berechne den Exponenten.

$\frac{1}{2} (3 \cdot 3 - 3 \cdot 1^{\frac{1}{3}})$

Schritt 6.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.3.1

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{1}{2} (9 - 3 \cdot 1^{\frac{1}{3}})$

Schritt 6.3.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1}{2} (9 - 3 \cdot 1)$

Schritt 6.3.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} (9 - 3)$

Schritt 6.3.4

Subtrahiere $3$ von $9$ .

$\frac{1}{2} \cdot 6$

Schritt 6.4

Vereinfache.

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Schritt 6.4.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $6$ .

$\frac{6}{2}$

Schritt 6.4.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $2$ .

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Schritt 6.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\frac{2 \cdot 3}{2}$

Schritt 6.4.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.4.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}$

Schritt 6.4.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.4.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3}{1}$

Schritt 6.4.2.2.4

Dividiere $3$ durch $1$ .

$3$