Analysis Beispiele

$\int \frac{x + 2}{{(2 x - 4)}^{\frac{3}{2}}} d x$

Schritt 1

Sei $u = 2 x - 4$ . Dann ist $d u = 2 d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = 2 x - 4$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $2 x - 4$ .

$\frac{d}{d x} [2 x - 4]$

Schritt 1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x - 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.1.4.1

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 + 0$

Schritt 1.1.4.2

Addiere $2$ und $0$ .

$2$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \frac{\frac{u}{2} + 2 + 2}{u^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Addiere $2$ und $2$ .

$\int \frac{\frac{u}{2} + 4}{u^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Schritt 2.2

Mutltipliziere $\frac{\frac{u}{2} + 4}{u^{\frac{3}{2}}}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\int \frac{2}{2} \cdot \frac{\frac{u}{2} + 4}{u^{\frac{3}{2}}} \frac{1}{2} d u$

Schritt 2.3

Kombinieren.

$\int \frac{2 (\frac{u}{2} + 4)}{2 u^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Schritt 2.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\int \frac{2 \frac{u}{2} + 2 \cdot 4}{2 u^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Schritt 2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int \frac{2 \frac{u}{2} + 2 \cdot 4}{2 u^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Schritt 2.5.2

Forme den Ausdruck um.

$\int \frac{u + 2 \cdot 4}{2 u^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Schritt 2.6

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$\int \frac{u + 8}{2 u^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Schritt 2.7

Mutltipliziere $\frac{u + 8}{2 u^{\frac{3}{2}}}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{u + 8}{2 u^{\frac{3}{2}} \cdot 2} d u$

Schritt 2.8

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\int \frac{u + 8}{4 u^{\frac{3}{2}}} d u$

Schritt 3

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{4}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{4} \int \frac{u + 8}{u^{\frac{3}{2}}} d u$

Schritt 4

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 4.1

Bringe $u^{\frac{3}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\frac{1}{4} \int (u + 8) {(u^{\frac{3}{2}})}^{- 1} d u$

Schritt 4.2

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 4.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} \int (u + 8) u^{\frac{3}{2} \cdot - 1} d u$

Schritt 4.2.2

Multipliziere $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

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Schritt 4.2.2.1

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und $- 1$ .

$\frac{1}{4} \int (u + 8) u^{\frac{3 \cdot - 1}{2}} d u$

Schritt 4.2.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{4} \int (u + 8) u^{\frac{- 3}{2}} d u$

Schritt 4.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{4} \int (u + 8) u^{- \frac{3}{2}} d u$

Schritt 5

Multipliziere $(u + 8) u^{- \frac{3}{2}}$ aus.

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Schritt 5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{4} \int u \cdot u^{- \frac{3}{2}} + 8 u^{- \frac{3}{2}} d u$

Schritt 5.2

Potenziere $u$ mit $1$ .

$\frac{1}{4} \int u^{1} u^{- \frac{3}{2}} + 8 u^{- \frac{3}{2}} d u$

Schritt 5.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{4} \int u^{1 - \frac{3}{2}} + 8 u^{- \frac{3}{2}} d u$

Schritt 5.4

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{4} \int u^{\frac{2}{2} - \frac{3}{2}} + 8 u^{- \frac{3}{2}} d u$

Schritt 5.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{4} \int u^{\frac{2 - 3}{2}} + 8 u^{- \frac{3}{2}} d u$

Schritt 5.6

Subtrahiere $3$ von $2$ .

$\frac{1}{4} \int u^{\frac{- 1}{2}} + 8 u^{- \frac{3}{2}} d u$

Schritt 5.7

Stelle $u^{\frac{- 1}{2}}$ und $8 u^{- \frac{3}{2}}$ um.

$\frac{1}{4} \int 8 u^{- \frac{3}{2}} + u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Schritt 6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{4} \int 8 u^{- \frac{3}{2}} + u^{- \frac{1}{2}} d u$

Schritt 7

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\frac{1}{4} (\int 8 u^{- \frac{3}{2}} d u + \int u^{- \frac{1}{2}} d u)$

Schritt 8

Da $8$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $8$ aus dem Integral.

$\frac{1}{4} (8 \int u^{- \frac{3}{2}} d u + \int u^{- \frac{1}{2}} d u)$

Schritt 9

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{- \frac{3}{2}}$ nach $u$ gleich $- 2 u^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} (8 (- 2 u^{- \frac{1}{2}} + C) + \int u^{- \frac{1}{2}} d u)$

Schritt 10

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{- \frac{1}{2}}$ nach $u$ gleich $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} (8 (- 2 u^{- \frac{1}{2}} + C) + 2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

Schritt 11

Vereinfache.

$\frac{1}{4} (- \frac{16}{u^{\frac{1}{2}}} + 2 u^{\frac{1}{2}}) + C$

Schritt 12

Ersetze alle $u$ durch $2 x - 4$ .

$\frac{1}{4} (- \frac{16}{{(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + 2 {(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}}) + C$

Schritt 13

Vereinfache.

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Schritt 13.1

Um $2 {(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{{(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{4} (- \frac{16}{{(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 {(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}} {(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}}}) + C$

Schritt 13.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{- 16 + 2 {(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}} {(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Schritt 13.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 13.3.1

Multipliziere ${(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ mit ${(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 13.3.1.1

Bewege ${(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{- 16 + 2 ({(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}} {(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}})}{{(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Schritt 13.3.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{- 16 + 2 {(2 x - 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Schritt 13.3.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{- 16 + 2 {(2 x - 4)}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Schritt 13.3.1.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{- 16 + 2 {(2 x - 4)}^{\frac{2}{2}}}{{(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Schritt 13.3.1.5

Dividiere $2$ durch $2$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{- 16 + 2 {(2 x - 4)}^{1}}{{(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Schritt 13.3.2

Vereinfache $2 {(2 x - 4)}^{1}$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{- 16 + 2 (2 x - 4)}{{(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Schritt 13.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{- 16 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 4}{{(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Schritt 13.3.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{- 16 + 4 x + 2 \cdot - 4}{{(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Schritt 13.3.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 4$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{- 16 + 4 x - 8}{{(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Schritt 13.3.6

Subtrahiere $8$ von $- 16$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{4 x - 24}{{(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Schritt 13.3.7

Faktorisiere $4$ aus $4 x - 24$ heraus.

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Schritt 13.3.7.1

Faktorisiere $4$ aus $4 x$ heraus.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{4 (x) - 24}{{(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Schritt 13.3.7.2

Faktorisiere $4$ aus $- 24$ heraus.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{4 x + 4 \cdot - 6}{{(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Schritt 13.3.7.3

Faktorisiere $4$ aus $4 x + 4 \cdot - 6$ heraus.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{4 (x - 6)}{{(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Schritt 13.4

Kombinieren.

$\frac{1 (4 (x - 6))}{4 {(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Schritt 13.5

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1 (4 (x - 6))}{4 {(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Schritt 13.6

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1 (x - 6)}{{(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Schritt 13.7

Mutltipliziere $x - 6$ mit $1$ .

$\frac{x - 6}{{(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$