Analysis Beispiele

$\int \frac{x}{x + 1} d x$

Schritt 1

Sei $u = x + 1$ . Dann ist $d u = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = x + 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Schritt 1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.1.4

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 1.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \frac{u - 1}{u} d u$

Schritt 2

Zerlege den Bruch in mehrere Brüche.

$\int \frac{u}{u} + \frac{- 1}{u} d u$

Schritt 3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int \frac{u}{u} d u + \int \frac{- 1}{u} d u$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $u$ .

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Schritt 4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int \frac{u}{u} d u + \int \frac{- 1}{u} d u$

Schritt 4.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\int d u + \int \frac{- 1}{u} d u$

Schritt 4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int d u + \int - \frac{1}{u} d u$

Schritt 5

Wende die Konstantenregel an.

$u + C + \int - \frac{1}{u} d u$

Schritt 6

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$u + C - \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 7

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$u + C - (\ln (| u |) + C)$

Schritt 8

Vereinfache.

$u - \ln (| u |) + C$

Schritt 9

Ersetze alle $u$ durch $x + 1$ .

$x + 1 - \ln (| x + 1 |) + C$