Analysis Beispiele

$π \int_{0}^{2} {(3 x^{2} + 2)}^{2} d x$

Schritt 1

Das Integral konnte nicht mittels Substitution gelöst werden. Mathway wird eine andere Methode benutzen.

Schritt 2

Multipliziere ${(3 x^{2} + 2)}^{2}$ aus.

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Schritt 2.1

Schreibe ${(3 x^{2} + 2)}^{2}$ als $(3 x^{2} + 2) (3 x^{2} + 2)$ um.

$π \int_{0}^{2} (3 x^{2} + 2) (3 x^{2} + 2) d x$

Schritt 2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$π \int_{0}^{2} 3 x^{2} (3 x^{2} + 2) + 2 (3 x^{2} + 2) d x$

Schritt 2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$π \int_{0}^{2} 3 x^{2} (3 x^{2}) + 3 x^{2} \cdot 2 + 2 (3 x^{2} + 2) d x$

Schritt 2.4

Wende das Distributivgesetz an.

$π \int_{0}^{2} 3 x^{2} (3 x^{2}) + 3 x^{2} \cdot 2 + 2 (3 x^{2}) + 2 \cdot 2 d x$

Schritt 2.5

Bewege $x^{2}$ .

$π \int_{0}^{2} 3 \cdot 3 x^{2} x^{2} + 3 x^{2} \cdot 2 + 2 (3 x^{2}) + 2 \cdot 2 d x$

Schritt 2.6

Bewege $x^{2}$ .

$π \int_{0}^{2} 3 \cdot 3 x^{2} x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2} + 2 (3 x^{2}) + 2 \cdot 2 d x$

Schritt 2.7

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$π \int_{0}^{2} 9 x^{2} x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2} + 2 \cdot 3 x^{2} + 2 \cdot 2 d x$

Schritt 2.8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$π \int_{0}^{2} 9 x^{2 + 2} + 3 \cdot 2 x^{2} + 2 \cdot 3 x^{2} + 2 \cdot 2 d x$

Schritt 2.9

Addiere $2$ und $2$ .

$π \int_{0}^{2} 9 x^{4} + 3 \cdot 2 x^{2} + 2 \cdot 3 x^{2} + 2 \cdot 2 d x$

Schritt 2.10

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$π \int_{0}^{2} 9 x^{4} + 6 x^{2} + 2 \cdot 3 x^{2} + 2 \cdot 2 d x$

Schritt 2.11

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$π \int_{0}^{2} 9 x^{4} + 6 x^{2} + 6 x^{2} + 2 \cdot 2 d x$

Schritt 2.12

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$π \int_{0}^{2} 9 x^{4} + 6 x^{2} + 6 x^{2} + 4 d x$

Schritt 2.13

Addiere $6 x^{2}$ und $6 x^{2}$ .

$π \int_{0}^{2} 9 x^{4} + 12 x^{2} + 4 d x$

Schritt 3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$π (\int_{0}^{2} 9 x^{4} d x + \int_{0}^{2} 12 x^{2} d x + \int_{0}^{2} 4 d x)$

Schritt 4

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $9$ aus dem Integral.

$π (9 \int_{0}^{2} x^{4} d x + \int_{0}^{2} 12 x^{2} d x + \int_{0}^{2} 4 d x)$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{4}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$π (9 (\frac{1}{5} x^{5}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} 12 x^{2} d x + \int_{0}^{2} 4 d x)$

Schritt 6

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $x^{5}$ .

$π (9 (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} 12 x^{2} d x + \int_{0}^{2} 4 d x)$

Schritt 7

Da $12$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $12$ aus dem Integral.

$π (9 (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{2}) + 12 \int_{0}^{2} x^{2} d x + \int_{0}^{2} 4 d x)$

Schritt 8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$π (9 (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{2}) + 12 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} 4 d x)$

Schritt 9

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$π (9 (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{2}) + 12 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} 4 d x)$

Schritt 10

Wende die Konstantenregel an.

$π (9 (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{2}) + 12 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) + 4 x]_{0}^{2})$

Schritt 11

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 11.1

Berechne $\frac{x^{5}}{5}$ bei $2$ und $0$ .

$π (9 ((\frac{2^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}) + 12 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) + 4 x]_{0}^{2})$

Schritt 11.2

Berechne $\frac{x^{3}}{3}$ bei $2$ und $0$ .

$π (9 (\frac{2^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}) + 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 4 x]_{0}^{2})$

Schritt 11.3

Berechne $4 x$ bei $2$ und $0$ .

$π (9 (\frac{2^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}) + 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

Schritt 11.4

Vereinfache.

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Schritt 11.4.1

Potenziere $2$ mit $5$ .

$π (9 (\frac{32}{5} - \frac{0^{5}}{5}) + 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

Schritt 11.4.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$π (9 (\frac{32}{5} - \frac{0}{5}) + 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

Schritt 11.4.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $5$ .

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Schritt 11.4.3.1

Faktorisiere $5$ aus $0$ heraus.

$π (9 (\frac{32}{5} - \frac{5 (0)}{5}) + 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

Schritt 11.4.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 11.4.3.2.1

Faktorisiere $5$ aus $5$ heraus.

$π (9 (\frac{32}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1}) + 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

Schritt 11.4.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$π (9 (\frac{32}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1}) + 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

Schritt 11.4.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$π (9 (\frac{32}{5} - \frac{0}{1}) + 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

Schritt 11.4.3.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$π (9 (\frac{32}{5} - 0) + 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

Schritt 11.4.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$π (9 (\frac{32}{5} + 0) + 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

Schritt 11.4.5

Addiere $\frac{32}{5}$ und $0$ .

$π (9 (\frac{32}{5}) + 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

Schritt 11.4.6

Kombiniere $9$ und $\frac{32}{5}$ .

$π (\frac{9 \cdot 32}{5} + 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

Schritt 11.4.7

Mutltipliziere $9$ mit $32$ .

$π (\frac{288}{5} + 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

Schritt 11.4.8

Potenziere $2$ mit $3$ .

$π (\frac{288}{5} + 12 (\frac{8}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

Schritt 11.4.9

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$π (\frac{288}{5} + 12 (\frac{8}{3} - \frac{0}{3}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

Schritt 11.4.10

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $3$ .

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Schritt 11.4.10.1

Faktorisiere $3$ aus $0$ heraus.

$π (\frac{288}{5} + 12 (\frac{8}{3} - \frac{3 (0)}{3}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

Schritt 11.4.10.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 11.4.10.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$π (\frac{288}{5} + 12 (\frac{8}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

Schritt 11.4.10.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$π (\frac{288}{5} + 12 (\frac{8}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

Schritt 11.4.10.2.3

Forme den Ausdruck um.

$π (\frac{288}{5} + 12 (\frac{8}{3} - \frac{0}{1}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

Schritt 11.4.10.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$π (\frac{288}{5} + 12 (\frac{8}{3} - 0) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

Schritt 11.4.11

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$π (\frac{288}{5} + 12 (\frac{8}{3} + 0) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

Schritt 11.4.12

Addiere $\frac{8}{3}$ und $0$ .

$π (\frac{288}{5} + 12 (\frac{8}{3}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

Schritt 11.4.13

Kombiniere $12$ und $\frac{8}{3}$ .

$π (\frac{288}{5} + \frac{12 \cdot 8}{3} + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

Schritt 11.4.14

Mutltipliziere $12$ mit $8$ .

$π (\frac{288}{5} + \frac{96}{3} + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

Schritt 11.4.15

Kürze den gemeinsamen Teiler von $96$ und $3$ .

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Schritt 11.4.15.1

Faktorisiere $3$ aus $96$ heraus.

$π (\frac{288}{5} + \frac{3 \cdot 32}{3} + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

Schritt 11.4.15.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 11.4.15.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$π (\frac{288}{5} + \frac{3 \cdot 32}{3 (1)} + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

Schritt 11.4.15.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$π (\frac{288}{5} + \frac{3 \cdot 32}{3 \cdot 1} + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

Schritt 11.4.15.2.3

Forme den Ausdruck um.

$π (\frac{288}{5} + \frac{32}{1} + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

Schritt 11.4.15.2.4

Dividiere $32$ durch $1$ .

$π (\frac{288}{5} + 32 + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

Schritt 11.4.16

Um $32$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$π (\frac{288}{5} + 32 \cdot \frac{5}{5} + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

Schritt 11.4.17

Kombiniere $32$ und $\frac{5}{5}$ .

$π (\frac{288}{5} + \frac{32 \cdot 5}{5} + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

Schritt 11.4.18

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$π (\frac{288 + 32 \cdot 5}{5} + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

Schritt 11.4.19

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.4.19.1

Mutltipliziere $32$ mit $5$ .

$π (\frac{288 + 160}{5} + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

Schritt 11.4.19.2

Addiere $288$ und $160$ .

$π (\frac{448}{5} + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

Schritt 11.4.20

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$π (\frac{448}{5} + 8 - 4 \cdot 0)$

Schritt 11.4.21

Mutltipliziere $- 4$ mit $0$ .

$π (\frac{448}{5} + 8 + 0)$

Schritt 11.4.22

Addiere $8$ und $0$ .

$π (\frac{448}{5} + 8)$

Schritt 11.4.23

Um $8$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$π (\frac{448}{5} + 8 \cdot \frac{5}{5})$

Schritt 11.4.24

Kombiniere $8$ und $\frac{5}{5}$ .

$π (\frac{448}{5} + \frac{8 \cdot 5}{5})$

Schritt 11.4.25

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$π \frac{448 + 8 \cdot 5}{5}$

Schritt 11.4.26

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.4.26.1

Mutltipliziere $8$ mit $5$ .

$π \frac{448 + 40}{5}$

Schritt 11.4.26.2

Addiere $448$ und $40$ .

$π \frac{488}{5}$

Schritt 11.4.27

Kombiniere $π$ und $\frac{488}{5}$ .

$\frac{π \cdot 488}{5}$

Schritt 11.4.28

Bringe $488$ auf die linke Seite von $π$ .

$\frac{488 π}{5}$

Schritt 12

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{488 π}{5}$

Dezimalform:

$306.61944299 \dots$

Schritt 13