Analysis Beispiele

$\int_{0}^{1} \sqrt{1 - x^{2}} d x$

Schritt 1

Sei $x = \sin (t)$ , mit $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Dann ist $d x = \cos (t) d t$ . Beachte, dass wegen $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\cos (t)$ positiv ist.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sqrt{1 - \sin^{2} (t)} \cos (t) d t$

Schritt 2

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.1

Vereinfache $\sqrt{1 - \sin^{2} (t)}$ .

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Schritt 2.1.1

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sqrt{\cos^{2} (t)} \cos (t) d t$

Schritt 2.1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (t) \cos (t) d t$

Schritt 2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Potenziere $\cos (t)$ mit $1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{1} (t) \cos (t) d t$

Schritt 2.2.2

Potenziere $\cos (t)$ mit $1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{1} (t) \cos^{1} (t) d t$

Schritt 2.2.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} {\cos (t)}^{1 + 1} d t$

Schritt 2.2.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (t) d t$

Schritt 3

Benutze die Halbwinkelformel, um $\cos^{2} (t)$ als $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ neu zu schreiben.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

Schritt 4

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Schritt 5

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\frac{1}{2} (\int_{0}^{\frac{π}{2}} d t + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (2 t) d t)$

Schritt 6

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{2} (t]_{0}^{\frac{π}{2}} + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (2 t) d t)$

Schritt 7

Sei $u = 2 t$ . Dann ist $d u = 2 d t$ , folglich $\frac{1}{2} d u = d t$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 7.1

Es sei $u = 2 t$ . Ermittle $\frac{d u}{d t}$ .

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Schritt 7.1.1

Differenziere $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Schritt 7.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $2 t$ nach $t$ gleich $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 7.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 7.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 7.2

Setze die untere Grenze für $t$ in $u = 2 t$ ein.

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Schritt 7.3

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$u_{lower} = 0$

Schritt 7.4

Setze die obere Grenze für $t$ in $u = 2 t$ ein.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Schritt 7.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Schritt 7.5.2

Forme den Ausdruck um.

$u_{upper} = π$

Schritt 7.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = π$

Schritt 7.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\frac{1}{2} (t]_{0}^{\frac{π}{2}} + \int_{0}^{π} \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Schritt 8

Kombiniere $\cos (u)$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (t]_{0}^{\frac{π}{2}} + \int_{0}^{π} \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Schritt 9

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} (t]_{0}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \int_{0}^{π} \cos (u) d u)$

Schritt 10

Das Integral von $\cos (u)$ nach $u$ ist $\sin (u)$ .

$\frac{1}{2} (t]_{0}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{π})$

Schritt 11

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 11.1

Berechne $t$ bei $\frac{π}{2}$ und $0$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{π}{2}) + 0 + \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{π})$

Schritt 11.2

Berechne $\sin (u)$ bei $π$ und $0$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{π}{2}) + 0 + \frac{1}{2} ((\sin (π)) - \sin (0)))$

Schritt 11.3

Addiere $\frac{π}{2}$ und $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{2} + \frac{1}{2} (\sin (π) - \sin (0)))$

Schritt 12

Vereinfache.

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Schritt 12.1

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{2} + \frac{1}{2} (\sin (π) - 0))$

Schritt 12.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{2} + \frac{1}{2} (\sin (π) + 0))$

Schritt 12.3

Addiere $\sin (π)$ und $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{2} + \frac{1}{2} \sin (π))$

Schritt 12.4

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\sin (π)$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{2} + \frac{\sin (π)}{2})$

Schritt 13

Vereinfache.

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Schritt 13.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{π + \sin (π)}{2}$

Schritt 13.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 13.2.1

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{π + \sin (0)}{2}$

Schritt 13.2.2

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{π + 0}{2}$

Schritt 13.3

Addiere $π$ und $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{π}{2}$

Schritt 13.4

Multipliziere $\frac{1}{2} \cdot \frac{π}{2}$ .

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Schritt 13.4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{π}{2}$ .

$\frac{π}{2 \cdot 2}$

Schritt 13.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{π}{4}$

Schritt 14

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{π}{4}$

Dezimalform:

$0.78539816 \dots$

Schritt 15