Analysis Beispiele

$\int 2 e^{2 x} {(e^{2 x} - 5)}^{7} d x$

Schritt 1

Sei $u_{2} = e^{2 x} - 5$ . Dann ist $d u_{2} = 2 e^{2 x} d x$ , folglich $\frac{1}{2 e^{2 x}} d u_{2} = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u_{2} = e^{2 x} - 5$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $e^{2 x} - 5$ .

$\frac{d}{d x} [e^{2 x} - 5]$

Schritt 1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $e^{2 x} - 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 1.1.3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $2 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Schritt 1.1.3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ gleich $a^{u_{1}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Schritt 1.1.3.1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $2 x$ .

$e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Schritt 1.1.3.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 5]$

Schritt 1.1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$e^{2 x} (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 5]$

Schritt 1.1.3.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$e^{2 x} \cdot 2 + \frac{d}{d x} [- 5]$

Schritt 1.1.3.5

Bringe $2$ auf die linke Seite von $e^{2 x}$ .

$2 e^{2 x} + \frac{d}{d x} [- 5]$

Schritt 1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.1.4.1

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 e^{2 x} + 0$

Schritt 1.1.4.2

Addiere $2 e^{2 x}$ und $0$ .

$2 e^{2 x}$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$\int {u_{2}}^{7} d u_{2}$

Schritt 2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von ${u_{2}}^{7}$ nach $u_{2}$ gleich $\frac{1}{8} {u_{2}}^{8}$ .

$\frac{1}{8} {u_{2}}^{8} + C$

Schritt 3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $e^{2 x} - 5$ .

$\frac{1}{8} {(e^{2 x} - 5)}^{8} + C$