Analysis Beispiele

$\int_{0}^{2} \frac{1}{1 + (\frac{x^{2}}{4})} d x$

Schritt 1

Das Integral konnte nicht mittels Substitution gelöst werden. Mathway wird eine andere Methode benutzen.

Schritt 2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\int_{0}^{2} \frac{1}{\frac{4}{4} + \frac{x^{2}}{4}} d x$

Schritt 2.1.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\int_{0}^{2} \frac{1}{\frac{4 + x^{2}}{4}} d x$

Schritt 2.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\int_{0}^{2} 1 \frac{4}{4 + x^{2}} d x$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $\frac{4}{4 + x^{2}}$ mit $1$ .

$\int_{0}^{2} \frac{4}{4 + x^{2}} d x$

Schritt 3

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$4 \int_{0}^{2} \frac{1}{4 + x^{2}} d x$

Schritt 4

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$4 \int_{0}^{2} \frac{1}{2^{2} + x^{2}} d x$

Schritt 5

Das Integral von $\frac{1}{2^{2} + x^{2}}$ nach $x$ ist $\frac{1}{2} \arctan (\frac{x}{2})]_{0}^{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} \arctan (\frac{x}{2})]_{0}^{2})$

Schritt 6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 6.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\arctan (\frac{x}{2})$ .

$4 (\frac{\arctan (\frac{x}{2})}{2}]_{0}^{2})$

Schritt 6.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 6.2.1

Berechne $\frac{\arctan (\frac{x}{2})}{2}$ bei $2$ und $0$ .

$4 ((\frac{\arctan (\frac{2}{2})}{2}) - \frac{\arctan (\frac{0}{2})}{2})$

Schritt 6.2.2

Vereinfache.

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Schritt 6.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 (\frac{\arctan (\frac{2}{2})}{2} - \frac{\arctan (\frac{0}{2})}{2})$

Schritt 6.2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$4 (\frac{\arctan (1)}{2} - \frac{\arctan (\frac{0}{2})}{2})$

Schritt 6.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $2$ .

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Schritt 6.2.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $0$ heraus.

$4 (\frac{\arctan (1)}{2} - \frac{\arctan (\frac{2 (0)}{2})}{2})$

Schritt 6.2.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.2.2.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$4 (\frac{\arctan (1)}{2} - \frac{\arctan (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})}{2})$

Schritt 6.2.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 (\frac{\arctan (1)}{2} - \frac{\arctan (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})}{2})$

Schritt 6.2.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$4 (\frac{\arctan (1)}{2} - \frac{\arctan (\frac{0}{1})}{2})$

Schritt 6.2.2.2.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$4 (\frac{\arctan (1)}{2} - \frac{\arctan (0)}{2})$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$4 \frac{\arctan (1) - \arctan (0)}{2}$

Schritt 7.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.1

Der genau Wert von $\arctan (1)$ ist $\frac{π}{4}$ .

$4 \frac{\frac{π}{4} - \arctan (0)}{2}$

Schritt 7.2.2

Der genau Wert von $\arctan (0)$ ist $0$ .

$4 \frac{\frac{π}{4} - 0}{2}$

Schritt 7.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$4 \frac{\frac{π}{4} + 0}{2}$

Schritt 7.3

Addiere $\frac{π}{4}$ und $0$ .

$4 \frac{\frac{π}{4}}{2}$

Schritt 7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.4.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$2 (2) \frac{\frac{π}{4}}{2}$

Schritt 7.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \cdot 2 \frac{\frac{π}{4}}{2}$

Schritt 7.4.3

Forme den Ausdruck um.

$2 \frac{π}{4}$

Schritt 7.5

Kombiniere $2$ und $\frac{π}{4}$ .

$\frac{2 π}{4}$

Schritt 7.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

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Schritt 7.6.1

Faktorisiere $2$ aus $2 π$ heraus.

$\frac{2 (π)}{4}$

Schritt 7.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.6.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Schritt 7.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Schritt 7.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{π}{2}$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{π}{2}$

Dezimalform:

$1.57079632 \dots$

Schritt 9