Analysis Beispiele

$\int_{0}^{4} \frac{x}{\sqrt{1 + 2 x}} d x$

Schritt 1

Sei $u = 1 + 2 x$ . Dann ist $d u = 2 d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = 1 + 2 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $1 + 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [1 + 2 x]$

Schritt 1.1.2

Differenziere.

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Schritt 1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + 2 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 1.1.2.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + 2 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 + 2 \cdot 1$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$0 + 2$

Schritt 1.1.4

Addiere $0$ und $2$ .

$2$

Schritt 1.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = 1 + 2 x$ ein.

$u_{lower} = 1 + 2 \cdot 0$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Schritt 1.3.2

Addiere $1$ und $0$ .

$u_{lower} = 1$

Schritt 1.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = 1 + 2 x$ ein.

$u_{upper} = 1 + 2 \cdot 4$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$u_{upper} = 1 + 8$

Schritt 1.5.2

Addiere $1$ und $8$ .

$u_{upper} = 9$

Schritt 1.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 9$

Schritt 1.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{1}^{9} \frac{\frac{u}{2} - \frac{1}{2}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Mutltipliziere $\frac{\frac{u}{2} - \frac{1}{2}}{\sqrt{u}}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\int_{1}^{9} \frac{2}{2} \cdot \frac{\frac{u}{2} - \frac{1}{2}}{\sqrt{u}} \frac{1}{2} d u$

Schritt 2.2

Kombinieren.

$\int_{1}^{9} \frac{2 (\frac{u}{2} - \frac{1}{2})}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Schritt 2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\int_{1}^{9} \frac{2 \frac{u}{2} + 2 (- \frac{1}{2})}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Schritt 2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int_{1}^{9} \frac{2 \frac{u}{2} + 2 (- \frac{1}{2})}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Schritt 2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\int_{1}^{9} \frac{u + 2 (- \frac{1}{2})}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Schritt 2.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\int_{1}^{9} \frac{u - 2 (\frac{1}{2})}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Schritt 2.6

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{2}$ .

$\int_{1}^{9} \frac{u + \frac{- 2}{2}}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Schritt 2.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 2.7.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$\int_{1}^{9} \frac{u + \frac{2 \cdot - 1}{2}}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Schritt 2.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.7.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\int_{1}^{9} \frac{u + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Schritt 2.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int_{1}^{9} \frac{u + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Schritt 2.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\int_{1}^{9} \frac{u + \frac{- 1}{1}}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Schritt 2.7.2.4

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$\int_{1}^{9} \frac{u - 1}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Schritt 2.8

Mutltipliziere $\frac{u - 1}{2 \sqrt{u}}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\int_{1}^{9} \frac{u - 1}{2 \sqrt{u} \cdot 2} d u$

Schritt 2.9

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\int_{1}^{9} \frac{u - 1}{4 \sqrt{u}} d u$

Schritt 3

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{4}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} \frac{u - 1}{\sqrt{u}} d u$

Schritt 4

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u}$ als $u^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} \frac{u - 1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Schritt 4.2

Bringe $u^{\frac{1}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} (u - 1) {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Schritt 4.3

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 4.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} (u - 1) u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Schritt 4.3.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} (u - 1) u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Schritt 4.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} (u - 1) u^{- \frac{1}{2}} d u$

Schritt 5

Multipliziere $(u - 1) u^{- \frac{1}{2}}$ aus.

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Schritt 5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} u \cdot u^{- \frac{1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Schritt 5.2

Potenziere $u$ mit $1$ .

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} u^{1} u^{- \frac{1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Schritt 5.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} u^{1 - \frac{1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Schritt 5.4

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} u^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Schritt 5.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} u^{\frac{2 - 1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Schritt 5.6

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} u^{\frac{1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Schritt 6

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\frac{1}{4} (\int_{1}^{9} u^{\frac{1}{2}} d u + \int_{1}^{9} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u)$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{\frac{1}{2}}$ nach $u$ gleich $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{9} + \int_{1}^{9} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u)$

Schritt 8

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{9} - \int_{1}^{9} u^{- \frac{1}{2}} d u)$

Schritt 9

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{- \frac{1}{2}}$ nach $u$ gleich $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{9} - (2 u^{\frac{1}{2}}]_{1}^{9}))$

Schritt 10

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 10.1

Berechne $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ bei $9$ und $1$ .

$\frac{1}{4} ((\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (2 u^{\frac{1}{2}}]_{1}^{9}))$

Schritt 10.2

Berechne $2 u^{\frac{1}{2}}$ bei $9$ und $1$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

Schritt 10.3

Vereinfache.

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Schritt 10.3.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} \cdot {(3^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

Schritt 10.3.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

Schritt 10.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 10.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

Schritt 10.3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} \cdot 3^{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

Schritt 10.3.4

Potenziere $3$ mit $3$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} \cdot 27 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

Schritt 10.4

Vereinfache.

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Schritt 10.4.1

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $27$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2 \cdot 27}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

Schritt 10.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $27$ .

$\frac{1}{4} (\frac{54}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

Schritt 10.4.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $54$ und $3$ .

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Schritt 10.4.3.1

Faktorisiere $3$ aus $54$ heraus.

$\frac{1}{4} (\frac{3 \cdot 18}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

Schritt 10.4.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 10.4.3.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{1}{4} (\frac{3 \cdot 18}{3 (1)} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

Schritt 10.4.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{4} (\frac{3 \cdot 18}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

Schritt 10.4.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{4} (\frac{18}{1} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

Schritt 10.4.3.2.4

Dividiere $18$ durch $1$ .

$\frac{1}{4} (18 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

Schritt 10.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 10.5.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1}{4} (18 - \frac{2}{3} \cdot 1 - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

Schritt 10.5.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1}{4} (18 - \frac{2}{3} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

Schritt 10.6

Vereinfache.

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Schritt 10.6.1

Um $18$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{4} (18 \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{3} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

Schritt 10.6.2

Kombiniere $18$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{18 \cdot 3}{3} - \frac{2}{3} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

Schritt 10.6.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{4} (\frac{18 \cdot 3 - 2}{3} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

Schritt 10.6.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.6.4.1

Mutltipliziere $18$ mit $3$ .

$\frac{1}{4} (\frac{54 - 2}{3} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

Schritt 10.6.4.2

Subtrahiere $2$ von $54$ .

$\frac{1}{4} (\frac{52}{3} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

Schritt 10.7

Vereinfache.

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Schritt 10.7.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{1}{4} (\frac{52}{3} - (2 \cdot {(3^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

Schritt 10.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{52}{3} - (2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

Schritt 10.7.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 10.7.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{4} (\frac{52}{3} - (2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

Schritt 10.7.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{4} (\frac{52}{3} - (2 \cdot 3^{1} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

Schritt 10.7.4

Berechne den Exponenten.

$\frac{1}{4} (\frac{52}{3} - (2 \cdot 3 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

Schritt 10.8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 10.8.1

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{1}{4} (\frac{52}{3} - (6 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

Schritt 10.8.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1}{4} (\frac{52}{3} - (6 - 2 \cdot 1))$

Schritt 10.8.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$\frac{1}{4} (\frac{52}{3} - (6 - 2))$

Schritt 10.8.4

Subtrahiere $2$ von $6$ .

$\frac{1}{4} (\frac{52}{3} - 1 \cdot 4)$

Schritt 10.8.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{1}{4} (\frac{52}{3} - 4)$

Schritt 10.9

Vereinfache.

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Schritt 10.9.1

Um $- 4$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{52}{3} - 4 \cdot \frac{3}{3})$

Schritt 10.9.2

Kombiniere $- 4$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{52}{3} + \frac{- 4 \cdot 3}{3})$

Schritt 10.9.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{52 - 4 \cdot 3}{3}$

Schritt 10.9.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.9.4.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{52 - 12}{3}$

Schritt 10.9.4.2

Subtrahiere $12$ von $52$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{40}{3}$

Schritt 10.10

Vereinfache.

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Schritt 10.10.1

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $\frac{40}{3}$ .

$\frac{40}{4 \cdot 3}$

Schritt 10.10.2

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$\frac{40}{12}$

Schritt 10.10.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $40$ und $12$ .

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Schritt 10.10.3.1

Faktorisiere $4$ aus $40$ heraus.

$\frac{4 (10)}{12}$

Schritt 10.10.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 10.10.3.2.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$\frac{4 \cdot 10}{4 \cdot 3}$

Schritt 10.10.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 \cdot 10}{4 \cdot 3}$

Schritt 10.10.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{10}{3}$

Schritt 11

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{10}{3}$

Dezimalform:

$3.\overline{3}$

Darstellung als gemischte Zahl:

$3 \frac{1}{3}$