Analysis Beispiele

$\int \ln^{2} (x) d x$

Schritt 1

Das Integral konnte nicht mittels Substitution gelöst werden. Mathway wird eine andere Methode benutzen.

Schritt 2

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = \ln^{2} (x)$ und $d v = 1$ .

$\ln^{2} (x) x - \int x \frac{\ln (x^{2})}{x} d x$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Kombiniere $x$ und $\frac{\ln (x^{2})}{x}$ .

$\ln^{2} (x) x - \int \frac{x \ln (x^{2})}{x} d x$

Schritt 3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln^{2} (x) x - \int \frac{x \ln (x^{2})}{x} d x$

Schritt 3.2.2

Dividiere $\ln (x^{2})$ durch $1$ .

$\ln^{2} (x) x - \int \ln (x^{2}) d x$

Schritt 4

Schreibe $\ln (x^{2})$ als $2 \ln (x)$ um.

$\ln^{2} (x) x - \int 2 \ln (x) d x$

Schritt 5

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$\ln^{2} (x) x - (2 \int \ln (x) d x)$

Schritt 6

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\ln^{2} (x) x - 2 \int \ln (x) d x$

Schritt 7

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = \ln (x)$ und $d v = 1$ .

$\ln^{2} (x) x - 2 (\ln (x) x - \int x \frac{1}{x} d x)$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{x}$ .

$\ln^{2} (x) x - 2 (\ln (x) x - \int \frac{x}{x} d x)$

Schritt 8.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln^{2} (x) x - 2 (\ln (x) x - \int \frac{x}{x} d x)$

Schritt 8.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\ln^{2} (x) x - 2 (\ln (x) x - \int d x)$

Schritt 9

Wende die Konstantenregel an.

$\ln^{2} (x) x - 2 (\ln (x) x - (x + C))$

Schritt 10

Schreibe $\ln^{2} (x) x - 2 (\ln (x) x - (x + C))$ als $\ln^{2} (x) x - 2 \ln (x) x + 2 x + C$ um.

$\ln^{2} (x) x - 2 \ln (x) x + 2 x + C$