Analysis Beispiele

$\int x^{2} e^{- x} d x$

Schritt 1

Sei $u = - x$ . Dann ist $d u = - d x$ , folglich $- d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = - x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 1.1.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Schritt 1.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 1$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int - {(- u)}^{2} e^{u} d u$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- u$ heraus.

$\int - {(- (u))}^{2} e^{u} d u$

Schritt 2.2

Wende die Produktregel auf $- (u)$ an.

$\int - ({(- 1)}^{2} u^{2}) e^{u} d u$

Schritt 2.3

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$\int - (1 u^{2}) e^{u} d u$

Schritt 2.4

Mutltipliziere $u^{2}$ mit $1$ .

$\int - u^{2} e^{u} d u$

Schritt 3

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int u^{2} e^{u} d u$

Schritt 4

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int w d v = w v - \int v d w$ , mit $w = u^{2}$ und $dv = e^{u}$ .

$- (u^{2} e^{u} - \int e^{u} (2 u) d u)$

Schritt 5

Da $2$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$- (u^{2} e^{u} - (2 \int e^{u} (u) d u))$

Schritt 6

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- (u^{2} e^{u} - 2 \int e^{u} (u) d u)$

Schritt 7

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int w d v = w v - \int v d w$ , mit $w = u$ und $dv = e^{u}$ .

$- (u^{2} e^{u} - 2 (u e^{u} - \int e^{u} d u))$

Schritt 8

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$- (u^{2} e^{u} - 2 (u e^{u} - (e^{u} + C)))$

Schritt 9

Schreibe $- (u^{2} e^{u} - 2 (u e^{u} - (e^{u} + C)))$ als $- (u^{2} e^{u} - 2 u e^{u} + 2 e^{u}) + C$ um.

$- (u^{2} e^{u} - 2 u e^{u} + 2 e^{u}) + C$

Schritt 10

Ersetze alle $u$ durch $- x$ .

$- ({(- x)}^{2} e^{- x} - 2 (- x) e^{- x} + 2 e^{- x}) + C$

Schritt 11

Vereinfache.

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Schritt 11.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.1.1

Wende die Produktregel auf $- x$ an.

$- ({(- 1)}^{2} x^{2} e^{- x} - 2 (- x) e^{- x} + 2 e^{- x}) + C$

Schritt 11.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$- (1 x^{2} e^{- x} - 2 (- x) e^{- x} + 2 e^{- x}) + C$

Schritt 11.1.3

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$- (x^{2} e^{- x} - 2 (- x) e^{- x} + 2 e^{- x}) + C$

Schritt 11.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$- (x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x} + 2 e^{- x}) + C$

Schritt 11.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- (x^{2} e^{- x}) - (2 x e^{- x}) - (2 e^{- x}) + C$

Schritt 11.3

Vereinfache.

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Schritt 11.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- x^{2} e^{- x} - 2 (x e^{- x}) - (2 e^{- x}) + C$

Schritt 11.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- x^{2} e^{- x} - 2 (x e^{- x}) - 2 e^{- x} + C$

$- x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x} - 2 e^{- x} + C$