Analysis Beispiele

\int x^{2} e^{- x} d x

$\int x^{2} e^{- x} d x$

Schritt 1

Sei

u = - x

$u = - x$ . Dann ist

d u = - d x

$d u = - d x$ , folglich

- d u = d x

$- d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von

u

$u$ und

d

$d$

u

$u$ .

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Schritt 1.1

Es sei

u = - x

$u = - x$ . Ermittle

\frac{d u}{d x}

$\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere

- x

$- x$ .

\frac{d}{d x} [- x]

$\frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 1.1.2

- 1

$- 1$ konstant bezüglich

x

$x$ ist, ist die Ableitung von

- x

$- x$ nach

x

$x$ gleich

- \frac{d}{d x} [x]

$- \frac{d}{d x} [x]$ .

- \frac{d}{d x} [x]

$- \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ ist mit

n = 1

$n = 1$ .

- 1 \cdot 1

$- 1 \cdot 1$

Schritt 1.1.4

Mutltipliziere

- 1

$- 1$ mit

1

$1$ .

- 1

$- 1$

- 1

$- 1$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von

u

$u$ und

d u

$d u$ neu.

\int - {(- u)}^{2} e^{u} d u

$\int - {(- u)}^{2} e^{u} d u$

\int - {(- u)}^{2} e^{u} d u

$\int - {(- u)}^{2} e^{u} d u$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Faktorisiere

- 1

$- 1$ aus

- u

$- u$ heraus.

\int - {(- (u))}^{2} e^{u} d u

$\int - {(- (u))}^{2} e^{u} d u$

Schritt 2.2

Wende die Produktregel auf

- (u)

$- (u)$ an.

\int - ({(- 1)}^{2} u^{2}) e^{u} d u

$\int - ({(- 1)}^{2} u^{2}) e^{u} d u$

Schritt 2.3

Potenziere

- 1

$- 1$ mit

2

$2$ .

\int - (1 u^{2}) e^{u} d u

$\int - (1 u^{2}) e^{u} d u$

Schritt 2.4

Mutltipliziere

u^{2}

$u^{2}$ mit

1

$1$ .

\int - u^{2} e^{u} d u

$\int - u^{2} e^{u} d u$

\int - u^{2} e^{u} d u

$\int - u^{2} e^{u} d u$

Schritt 3

- 1

$- 1$ konstant bezüglich

u

$u$ ist, ziehe

- 1

$- 1$ aus dem Integral.

- \int u^{2} e^{u} d u

$- \int u^{2} e^{u} d u$

Schritt 4

Integriere partiell durch Anwendung der Formel

\int w d v = w v - \int v d w

$\int w d v = w v - \int v d w$ , mit

w = u^{2}

$w = u^{2}$ und

dv = e^{u}

$dv = e^{u}$ .

- (u^{2} e^{u} - \int e^{u} (2 u) d u)

$- (u^{2} e^{u} - \int e^{u} (2 u) d u)$

Schritt 5

2

$2$ konstant bezüglich

u

$u$ ist, ziehe

2

$2$ aus dem Integral.

- (u^{2} e^{u} - (2 \int e^{u} (u) d u))

$- (u^{2} e^{u} - (2 \int e^{u} (u) d u))$

Schritt 6

Mutltipliziere

2

$2$ mit

- 1

$- 1$ .

- (u^{2} e^{u} - 2 \int e^{u} (u) d u)

$- (u^{2} e^{u} - 2 \int e^{u} (u) d u)$

Schritt 7

Integriere partiell durch Anwendung der Formel

\int w d v = w v - \int v d w

$\int w d v = w v - \int v d w$ , mit

w = u

$w = u$ und

dv = e^{u}

$dv = e^{u}$ .

- (u^{2} e^{u} - 2 (u e^{u} - \int e^{u} d u))

$- (u^{2} e^{u} - 2 (u e^{u} - \int e^{u} d u))$

Schritt 8

Das Integral von

e^{u}

$e^{u}$ nach

u

$u$ ist

e^{u}

$e^{u}$ .

- (u^{2} e^{u} - 2 (u e^{u} - (e^{u} + C)))

$- (u^{2} e^{u} - 2 (u e^{u} - (e^{u} + C)))$

Schritt 9

Schreibe

- (u^{2} e^{u} - 2 (u e^{u} - (e^{u} + C)))

$- (u^{2} e^{u} - 2 (u e^{u} - (e^{u} + C)))$ als

- (u^{2} e^{u} - 2 u e^{u} + 2 e^{u}) + C

$- (u^{2} e^{u} - 2 u e^{u} + 2 e^{u}) + C$ um.

- (u^{2} e^{u} - 2 u e^{u} + 2 e^{u}) + C

$- (u^{2} e^{u} - 2 u e^{u} + 2 e^{u}) + C$

Schritt 10

Ersetze alle

u

$u$ durch

- x

$- x$ .

- ({(- x)}^{2} e^{- x} - 2 (- x) e^{- x} + 2 e^{- x}) + C

$- ({(- x)}^{2} e^{- x} - 2 (- x) e^{- x} + 2 e^{- x}) + C$

Schritt 11

Vereinfache.

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Schritt 11.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.1.1

Wende die Produktregel auf

- x

$- x$ an.

- ({(- 1)}^{2} x^{2} e^{- x} - 2 (- x) e^{- x} + 2 e^{- x}) + C

$- ({(- 1)}^{2} x^{2} e^{- x} - 2 (- x) e^{- x} + 2 e^{- x}) + C$

Schritt 11.1.2

Potenziere

- 1

$- 1$ mit

2

$2$ .

- (1 x^{2} e^{- x} - 2 (- x) e^{- x} + 2 e^{- x}) + C

$- (1 x^{2} e^{- x} - 2 (- x) e^{- x} + 2 e^{- x}) + C$

Schritt 11.1.3

Mutltipliziere

x^{2}

$x^{2}$ mit

1

$1$ .

- (x^{2} e^{- x} - 2 (- x) e^{- x} + 2 e^{- x}) + C

$- (x^{2} e^{- x} - 2 (- x) e^{- x} + 2 e^{- x}) + C$

Schritt 11.1.4

Mutltipliziere

- 1

$- 1$ mit

- 2

$- 2$ .

- (x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x} + 2 e^{- x}) + C

$- (x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x} + 2 e^{- x}) + C$

- (x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x} + 2 e^{- x}) + C

$- (x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x} + 2 e^{- x}) + C$

Schritt 11.2

Wende das Distributivgesetz an.

- (x^{2} e^{- x}) - (2 x e^{- x}) - (2 e^{- x}) + C

$- (x^{2} e^{- x}) - (2 x e^{- x}) - (2 e^{- x}) + C$

Schritt 11.3

Vereinfache.

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Schritt 11.3.1

Mutltipliziere

2

$2$ mit

- 1

$- 1$ .

- x^{2} e^{- x} - 2 (x e^{- x}) - (2 e^{- x}) + C

$- x^{2} e^{- x} - 2 (x e^{- x}) - (2 e^{- x}) + C$

Schritt 11.3.2

Mutltipliziere

2

$2$ mit

- 1

$- 1$ .

- x^{2} e^{- x} - 2 (x e^{- x}) - 2 e^{- x} + C

$- x^{2} e^{- x} - 2 (x e^{- x}) - 2 e^{- x} + C$

- x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x} - 2 e^{- x} + C

$- x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x} - 2 e^{- x} + C$

- x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x} - 2 e^{- x} + C

$- x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x} - 2 e^{- x} + C$