Analysis Beispiele

$\int_{0}^{1} x \sqrt{1 - x^{2}} d x$

Schritt 1

Sei $u = 1 - x^{2}$ . Dann ist $d u = - 2 x d x$ , folglich $- \frac{1}{2} d u = x d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = 1 - x^{2}$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $1 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Schritt 1.1.2

Differenziere.

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Schritt 1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 1.1.2.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$0 - (2 x)$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$0 - 2 x$

Schritt 1.1.4

Subtrahiere $2 x$ von $0$ .

$- 2 x$

Schritt 1.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = 1 - x^{2}$ ein.

$u_{lower} = 1 - 0^{2}$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$u_{lower} = 1 - 0$

Schritt 1.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Schritt 1.3.2

Addiere $1$ und $0$ .

$u_{lower} = 1$

Schritt 1.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = 1 - x^{2}$ ein.

$u_{upper} = 1 - 1^{2}$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.5.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$u_{upper} = 1 - 1 \cdot 1$

Schritt 1.5.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$u_{upper} = 1 - 1$

Schritt 1.5.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$u_{upper} = 0$

Schritt 1.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 0$

Schritt 1.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{1}^{0} \sqrt{u} \frac{1}{- 2} d u$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int_{1}^{0} \sqrt{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Schritt 2.2

Kombiniere $\sqrt{u}$ und $\frac{1}{2}$ .

$\int_{1}^{0} - \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

Schritt 3

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int_{1}^{0} \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

Schritt 4

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$- (\frac{1}{2} \int_{1}^{0} \sqrt{u} d u)$

Schritt 5

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u}$ als $u^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$- \frac{1}{2} \int_{1}^{0} u^{\frac{1}{2}} d u$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{\frac{1}{2}}$ nach $u$ gleich $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{1}{2} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{0}$

Schritt 7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 7.1

Berechne $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ bei $0$ und $1$ .

$- \frac{1}{2} ((\frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Schritt 7.2

Vereinfache.

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Schritt 7.2.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$- \frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Schritt 7.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Schritt 7.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Schritt 7.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot 0^{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Schritt 7.2.4

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot 0 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Schritt 7.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 7.3.1

Mutltipliziere $\frac{2}{3}$ mit $0$ .

$- \frac{1}{2} (0 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Schritt 7.3.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- \frac{1}{2} (0 - \frac{2}{3} \cdot 1)$

Schritt 7.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- \frac{1}{2} (0 - \frac{2}{3})$

Schritt 7.3.4

Subtrahiere $\frac{2}{3}$ von $0$ .

$- \frac{1}{2} (- \frac{2}{3})$

Schritt 7.4

Vereinfache.

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Schritt 7.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 (\frac{1}{2}) \frac{2}{3}$

Schritt 7.4.2

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}$

Schritt 7.4.3

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{2 \cdot 3}$

Schritt 7.4.4

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{2}{6}$

Schritt 7.4.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $6$ .

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Schritt 7.4.5.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (1)}{6}$

Schritt 7.4.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.4.5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3}$

Schritt 7.4.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3}$

Schritt 7.4.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{3}$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{1}{3}$

Dezimalform:

$0.\overline{3}$