Analysis Beispiele

$\int x \cdot 8^{x^{2} - 1} d x$

Schritt 1

Sei $u = x^{2} - 1$ . Dann ist $d u = 2 x d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = x^{2} - 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $x^{2} - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Schritt 1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.1.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 x + 0$

Schritt 1.1.5

Addiere $2 x$ und $0$ .

$2 x$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int 8^{u} \frac{1}{2} d u$

Schritt 2

Kombiniere $8^{u}$ und $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{8^{u}}{2} d u$

Schritt 3

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int 8^{u} d u$

Schritt 4

Das Integral von $8^{u}$ nach $u$ ist $\frac{8^{u}}{\ln (8)}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{8^{u}}{\ln (8)} + C)$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Schreibe $\frac{1}{2} (\frac{8^{u}}{\ln (8)} + C)$ als $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\ln (8)} \cdot 8^{u} + C$ um.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\ln (8)} \cdot 8^{u} + C$

Schritt 5.2

Schreibe $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\ln (8)} \cdot 8^{u} + C$ als $\frac{1}{2 \ln (8)} \cdot 8^{u} + C$ um.

$\frac{1}{2 \ln (8)} \cdot 8^{u} + C$

Schritt 6

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} - 1$ .

$\frac{1}{2 \ln (8)} \cdot 8^{x^{2} - 1} + C$