Analysis Beispiele

$\int x^{3} \sqrt{1 - x^{2}} d x$

Schritt 1

Sei $u = 1 - x^{2}$ . Dann ist $d u = - 2 x d x$ , folglich $- \frac{1}{2} d u = x d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = 1 - x^{2}$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $1 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Schritt 1.1.2

Differenziere.

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Schritt 1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 1.1.2.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$0 - (2 x)$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$0 - 2 x$

Schritt 1.1.4

Subtrahiere $2 x$ von $0$ .

$- 2 x$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int {\sqrt{- u + 1}}^{2} \sqrt{u} \frac{1}{- 2} d u$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Schreibe ${\sqrt{- u + 1}}^{2}$ als $- u + 1$ um.

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Schritt 2.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{- u + 1}$ als ${(- u + 1)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int {({(- u + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \sqrt{u} \frac{1}{- 2} d u$

Schritt 2.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int {(- u + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \sqrt{u} \frac{1}{- 2} d u$

Schritt 2.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\int {(- u + 1)}^{\frac{2}{2}} \sqrt{u} \frac{1}{- 2} d u$

Schritt 2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int {(- u + 1)}^{\frac{2}{2}} \sqrt{u} \frac{1}{- 2} d u$

Schritt 2.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\int {(- u + 1)}^{1} \sqrt{u} \frac{1}{- 2} d u$

Schritt 2.1.5

Vereinfache.

$\int (- u + 1) \sqrt{u} \frac{1}{- 2} d u$

Schritt 2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int (- u + 1) \sqrt{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Schritt 2.3

Kombiniere $\sqrt{u}$ und $\frac{1}{2}$ .

$\int (- u + 1) (- \frac{\sqrt{u}}{2}) d u$

Schritt 3

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int (- u + 1) (\frac{\sqrt{u}}{2}) d u$

Schritt 4

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u}$ als $u^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$- \int (- u + 1) \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- \int - u \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} + 1 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Schritt 5.2

Kombiniere $- u$ und $\frac{u^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$- \int \frac{- u \cdot u^{\frac{1}{2}}}{2} + 1 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Schritt 5.3

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$- \int \frac{- (u \cdot u^{\frac{1}{2}})}{2} + 1 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Schritt 5.4

Potenziere $u$ mit $1$ .

$- \int \frac{- (u^{1} u^{\frac{1}{2}})}{2} + 1 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Schritt 5.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \int \frac{- u^{1 + \frac{1}{2}}}{2} + 1 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Schritt 5.6

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$- \int \frac{- u^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}{2} + 1 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Schritt 5.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \int \frac{- u^{\frac{2 + 1}{2}}}{2} + 1 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Schritt 5.8

Addiere $2$ und $1$ .

$- \int \frac{- u^{\frac{3}{2}}}{2} + 1 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Schritt 5.9

Mutltipliziere $\frac{u^{\frac{1}{2}}}{2}$ mit $1$ .

$- \int \frac{- u^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Schritt 6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \int - \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Schritt 7

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$- (\int - \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} d u + \int \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u)$

Schritt 8

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- (- \int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} d u + \int \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u)$

Schritt 9

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$- (- (\frac{1}{2} \int u^{\frac{3}{2}} d u) + \int \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u)$

Schritt 10

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{\frac{3}{2}}$ nach $u$ gleich $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$- (- \frac{1}{2} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C) + \int \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u)$

Schritt 11

Kombiniere $\frac{2}{5}$ und $u^{\frac{5}{2}}$ .

$- (- \frac{1}{2} (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C) + \int \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u)$

Schritt 12

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$- (- \frac{1}{2} (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C) + \frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2}} d u)$

Schritt 13

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{\frac{1}{2}}$ nach $u$ gleich $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$- (- \frac{1}{2} (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C) + \frac{1}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C))$

Schritt 14

Vereinfache.

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Schritt 14.1

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $u^{\frac{3}{2}}$ .

$- (- \frac{1}{2} (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C) + \frac{1}{2} (\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} + C))$

Schritt 14.2

Vereinfache.

$- (- \frac{u^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{u^{\frac{3}{2}}}{3}) + C$

Schritt 15

Stelle die Terme um.

$- (- \frac{1}{5} u^{\frac{5}{2}} + \frac{1}{3} u^{\frac{3}{2}}) + C$

Schritt 16

Ersetze alle $u$ durch $1 - x^{2}$ .

$- (- \frac{1}{5} {(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}} + \frac{1}{3} {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}) + C$

Schritt 17

Vereinfache.

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Schritt 17.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 17.1.1

Kombiniere ${(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}}$ und $\frac{1}{5}$ .

$- (- \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{1}{3} {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}) + C$

Schritt 17.1.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und ${(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}$ .

$- (- \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3}) + C$

Schritt 17.2

Um $- \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}}}{5}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$- (- \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}}}{5} \cdot \frac{3}{3} + \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3}) + C$

Schritt 17.3

Um $\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$- (- \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}}}{5} \cdot \frac{3}{3} + \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} \cdot \frac{5}{5}) + C$

Schritt 17.4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $15$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 17.4.1

Mutltipliziere $\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}}}{5}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$- (- \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}} \cdot 3}{5 \cdot 3} + \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} \cdot \frac{5}{5}) + C$

Schritt 17.4.2

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$- (- \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}} \cdot 3}{15} + \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} \cdot \frac{5}{5}) + C$

Schritt 17.4.3

Mutltipliziere $\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3}$ mit $\frac{5}{5}$ .

$- (- \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}} \cdot 3}{15} + \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} \cdot 5}{3 \cdot 5}) + C$

Schritt 17.4.4

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$- (- \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}} \cdot 3}{15} + \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} \cdot 5}{15}) + C$

Schritt 17.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{- {(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}} \cdot 3 + {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} \cdot 5}{15} + C$

Schritt 17.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 17.6.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$- \frac{- 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}} + {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} \cdot 5}{15} + C$

Schritt 17.6.2

Bringe $5$ auf die linke Seite von ${(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{- 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}} + 5 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{15} + C$

Schritt 17.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}}$ heraus.

$- \frac{- (3 {(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}}) + 5 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{15} + C$

Schritt 17.8

Faktorisiere $- 1$ aus $5 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}$ heraus.

$- \frac{- (3 {(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}}) - (- 5 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}})}{15} + C$

Schritt 17.9

Faktorisiere $- 1$ aus $- (3 {(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}}) - (- 5 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}})$ heraus.

$- \frac{- (3 {(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}} - 5 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}})}{15} + C$

Schritt 17.10

Schreibe $- (3 {(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}} - 5 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}})$ als $- 1 (3 {(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}} - 5 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}})$ um.

$- \frac{- 1 (3 {(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}} - 5 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}})}{15} + C$

Schritt 17.11

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- - \frac{3 {(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}} - 5 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{15} + C$

Schritt 17.12

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 \frac{3 {(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}} - 5 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{15} + C$

Schritt 17.13

Mutltipliziere $\frac{3 {(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}} - 5 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{15}$ mit $1$ .

$\frac{3 {(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}} - 5 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{15} + C$

Schritt 18

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{15} (3 {(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}} - 5 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}) + C$