Analysis Beispiele

$\int \frac{x^{2} - 3}{{(x + 1)}^{3}} d x$

Schritt 1

Sei $u = x + 1$ . Dann ist $d u = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = x + 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Schritt 1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.1.4

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 1.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \frac{{(u - 1)}^{2} - 3}{u^{3}} d u$

Schritt 2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.1

Bringe $u^{3}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int ({(u - 1)}^{2} - 3) {(u^{3})}^{- 1} d u$

Schritt 2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{3})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int ({(u - 1)}^{2} - 3) u^{3 \cdot - 1} d u$

Schritt 2.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\int ({(u - 1)}^{2} - 3) u^{- 3} d u$

Schritt 3

Multipliziere $({(u - 1)}^{2} - 3) u^{- 3}$ aus.

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Schritt 3.1

Schreibe ${(u - 1)}^{2}$ als $(u - 1) (u - 1)$ um.

$\int ((u - 1) (u - 1) - 3) u^{- 3} d u$

Schritt 3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\int (u (u - 1) - 1 (u - 1) - 3) u^{- 3} d u$

Schritt 3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\int (u \cdot u + u \cdot - 1 - 1 (u - 1) - 3) u^{- 3} d u$

Schritt 3.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\int (u \cdot u + u \cdot - 1 - 1 u - 1 \cdot - 1 - 3) u^{- 3} d u$

Schritt 3.5

Wende das Distributivgesetz an.

$\int (u \cdot u + u \cdot - 1 - 1 u - 1 \cdot - 1) u^{- 3} - 3 u^{- 3} d u$

Schritt 3.6

Wende das Distributivgesetz an.

$\int (u \cdot u + u \cdot - 1) u^{- 3} + (- 1 u - 1 \cdot - 1) u^{- 3} - 3 u^{- 3} d u$

Schritt 3.7

Wende das Distributivgesetz an.

$\int u \cdot u \cdot u^{- 3} + u \cdot - 1 u^{- 3} + (- 1 u - 1 \cdot - 1) u^{- 3} - 3 u^{- 3} d u$

Schritt 3.8

Wende das Distributivgesetz an.

$\int u \cdot u \cdot u^{- 3} + u \cdot - 1 u^{- 3} - 1 u \cdot u^{- 3} - 1 \cdot - 1 u^{- 3} - 3 u^{- 3} d u$

Schritt 3.9

Stelle $u$ und $- 1$ um.

$\int u \cdot u \cdot u^{- 3} - 1 \cdot u \cdot u^{- 3} - 1 u \cdot u^{- 3} - 1 \cdot - 1 u^{- 3} - 3 u^{- 3} d u$

Schritt 3.10

Potenziere $u$ mit $1$ .

$\int u^{1} u \cdot u^{- 3} - 1 u \cdot u^{- 3} - 1 u \cdot u^{- 3} - 1 \cdot - 1 u^{- 3} - 3 u^{- 3} d u$

Schritt 3.11

Potenziere $u$ mit $1$ .

$\int u^{1} u^{1} u^{- 3} - 1 u \cdot u^{- 3} - 1 u \cdot u^{- 3} - 1 \cdot - 1 u^{- 3} - 3 u^{- 3} d u$

Schritt 3.12

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int u^{1 + 1} u^{- 3} - 1 u \cdot u^{- 3} - 1 u \cdot u^{- 3} - 1 \cdot - 1 u^{- 3} - 3 u^{- 3} d u$

Schritt 3.13

Addiere $1$ und $1$ .

$\int u^{2} u^{- 3} - 1 u \cdot u^{- 3} - 1 u \cdot u^{- 3} - 1 \cdot - 1 u^{- 3} - 3 u^{- 3} d u$

Schritt 3.14

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int u^{2 - 3} - 1 u \cdot u^{- 3} - 1 u \cdot u^{- 3} - 1 \cdot - 1 u^{- 3} - 3 u^{- 3} d u$

Schritt 3.15

Subtrahiere $3$ von $2$ .

$\int u^{- 1} - 1 u \cdot u^{- 3} - 1 u \cdot u^{- 3} - 1 \cdot - 1 u^{- 3} - 3 u^{- 3} d u$

Schritt 3.16

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$\int u^{- 1} - (u \cdot u^{- 3}) - 1 u \cdot u^{- 3} - 1 \cdot - 1 u^{- 3} - 3 u^{- 3} d u$

Schritt 3.17

Potenziere $u$ mit $1$ .

$\int u^{- 1} - (u^{1} u^{- 3}) - 1 u \cdot u^{- 3} - 1 \cdot - 1 u^{- 3} - 3 u^{- 3} d u$

Schritt 3.18

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int u^{- 1} - u^{1 - 3} - 1 u \cdot u^{- 3} - 1 \cdot - 1 u^{- 3} - 3 u^{- 3} d u$

Schritt 3.19

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$\int u^{- 1} - u^{- 2} - 1 u \cdot u^{- 3} - 1 \cdot - 1 u^{- 3} - 3 u^{- 3} d u$

Schritt 3.20

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$\int u^{- 1} - u^{- 2} - (u \cdot u^{- 3}) - 1 \cdot - 1 u^{- 3} - 3 u^{- 3} d u$

Schritt 3.21

Potenziere $u$ mit $1$ .

$\int u^{- 1} - u^{- 2} - (u^{1} u^{- 3}) - 1 \cdot - 1 u^{- 3} - 3 u^{- 3} d u$

Schritt 3.22

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int u^{- 1} - u^{- 2} - u^{1 - 3} - 1 \cdot - 1 u^{- 3} - 3 u^{- 3} d u$

Schritt 3.23

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$\int u^{- 1} - u^{- 2} - u^{- 2} - 1 \cdot - 1 u^{- 3} - 3 u^{- 3} d u$

Schritt 3.24

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\int u^{- 1} - u^{- 2} - u^{- 2} + 1 u^{- 3} - 3 u^{- 3} d u$

Schritt 3.25

Mutltipliziere $u^{- 3}$ mit $1$ .

$\int u^{- 1} - u^{- 2} - u^{- 2} + u^{- 3} - 3 u^{- 3} d u$

Schritt 3.26

Subtrahiere $u^{- 2}$ von $- u^{- 2}$ .

$\int u^{- 1} - 2 u^{- 2} + u^{- 3} - 3 u^{- 3} d u$

Schritt 3.27

Subtrahiere $3 u^{- 3}$ von $u^{- 3}$ .

$\int u^{- 1} - 2 u^{- 2} - 2 u^{- 3} d u$

Schritt 4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int u^{- 1} d u + \int - 2 u^{- 2} d u + \int - 2 u^{- 3} d u$

Schritt 5

Das Integral von $u^{- 1}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C + \int - 2 u^{- 2} d u + \int - 2 u^{- 3} d u$

Schritt 6

Da $- 2$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 2$ aus dem Integral.

$\ln (| u |) + C - 2 \int u^{- 2} d u + \int - 2 u^{- 3} d u$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{- 2}$ nach $u$ gleich $- u^{- 1}$ .

$\ln (| u |) + C - 2 (- u^{- 1} + C) + \int - 2 u^{- 3} d u$

Schritt 8

Da $- 2$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 2$ aus dem Integral.

$\ln (| u |) + C - 2 (- u^{- 1} + C) - 2 \int u^{- 3} d u$

Schritt 9

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{- 3}$ nach $u$ gleich $- \frac{1}{2} u^{- 2}$ .

$\ln (| u |) + C - 2 (- u^{- 1} + C) - 2 (- \frac{1}{2} u^{- 2} + C)$

Schritt 10

Vereinfache.

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Schritt 10.1

Vereinfache.

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Schritt 10.1.1

Kombiniere $u^{- 2}$ und $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| u |) + C - 2 (- u^{- 1} + C) - 2 (- \frac{u^{- 2}}{2} + C)$

Schritt 10.1.2

Bringe $u^{- 2}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\ln (| u |) + C - 2 (- u^{- 1} + C) - 2 (- \frac{1}{2 u^{2}} + C)$

Schritt 10.2

Vereinfache.

$\ln (| u |) + \frac{2}{u} - 2 (- \frac{1}{2 u^{2}}) + C$

Schritt 10.3

Schreibe $\ln (| u |) + \frac{2}{u} - 2 (- \frac{1}{2 u^{2}}) + C$ als $\ln (| u |) + \frac{2}{u} - \frac{- 1}{u^{2}} + C$ um.

$\ln (| u |) + \frac{2}{u} - \frac{- 1}{u^{2}} + C$

Schritt 10.4

Vereinfache.

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Schritt 10.4.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\ln (| u |) + \frac{2}{u} - - \frac{1}{u^{2}} + C$

Schritt 10.4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\ln (| u |) + \frac{2}{u} + 1 \frac{1}{u^{2}} + C$

Schritt 10.4.3

Mutltipliziere $\frac{1}{u^{2}}$ mit $1$ .

$\ln (| u |) + \frac{2}{u} + \frac{1}{u^{2}} + C$

Schritt 11

Ersetze alle $u$ durch $x + 1$ .

$\ln (| x + 1 |) + \frac{2}{x + 1} + \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} + C$