Analysis Beispiele

$\int \frac{- 4 x}{{(1 - 2 x^{2})}^{2}} d x$

Schritt 1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int - \frac{4 x}{{(1 - 2 x^{2})}^{2}} d x$

Schritt 2

Sei $u = 1 - 2 x^{2}$ . Dann ist $d u = - 4 x d x$ , folglich $\frac{1}{- 4 x} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u = 1 - 2 x^{2}$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $1 - 2 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 - 2 x^{2}]$

Schritt 2.1.2

Differenziere.

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Schritt 2.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - 2 x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

Schritt 2.1.2.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

Schritt 2.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

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Schritt 2.1.3.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$0 - 2 (2 x)$

Schritt 2.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$0 - 4 x$

Schritt 2.1.4

Subtrahiere $4 x$ von $0$ .

$- 4 x$

Schritt 2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int - \frac{- 1}{u^{2}} d u$

Schritt 3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.1

Vereinfache.

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Schritt 3.1.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int - - \frac{1}{u^{2}} d u$

Schritt 3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\int 1 \frac{1}{u^{2}} d u$

Schritt 3.1.3

Mutltipliziere $\frac{1}{u^{2}}$ mit $1$ .

$\int \frac{1}{u^{2}} d u$

Schritt 3.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 3.2.1

Bringe $u^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int {(u^{2})}^{- 1} d u$

Schritt 3.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 3.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int u^{2 \cdot - 1} d u$

Schritt 3.2.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\int u^{- 2} d u$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{- 2}$ nach $u$ gleich $- u^{- 1}$ .

$- u^{- 1} + C$

Schritt 5

Schreibe $- u^{- 1} + C$ als $- \frac{1}{u} + C$ um.

$- \frac{1}{u} + C$

Schritt 6

Ersetze alle $u$ durch $1 - 2 x^{2}$ .

$- \frac{1}{1 - 2 x^{2}} + C$