Analysis Beispiele

$\int \frac{x^{2}}{x - 1} d x$

Schritt 1

Sei $u = x - 1$ . Dann ist $d u = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = x - 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Schritt 1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.1.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 1.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \frac{{(u + 1)}^{2}}{u} d u$

Schritt 2

Vereinfache durch Ausmultiplizieren.

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Schritt 2.1

Schreibe ${(u + 1)}^{2}$ als $(u + 1) (u + 1)$ um.

$\int \frac{(u + 1) (u + 1)}{u} d u$

Schritt 2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\int \frac{u (u + 1) + 1 (u + 1)}{u} d u$

Schritt 2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\int \frac{u \cdot u + u \cdot 1 + 1 (u + 1)}{u} d u$

Schritt 2.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\int \frac{u \cdot u + u \cdot 1 + 1 u + 1 \cdot 1}{u} d u$

Schritt 2.5

Stelle $u$ und $1$ um.

$\int \frac{u \cdot u + 1 \cdot u + 1 u + 1 \cdot 1}{u} d u$

Schritt 3

Potenziere $u$ mit $1$ .

$\int \frac{u^{1} u + 1 u + 1 u + 1 \cdot 1}{u} d u$

Schritt 4

Potenziere $u$ mit $1$ .

$\int \frac{u^{1} u^{1} + 1 u + 1 u + 1 \cdot 1}{u} d u$

Schritt 5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int \frac{u^{1 + 1} + 1 u + 1 u + 1 \cdot 1}{u} d u$

Schritt 6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.1

Addiere $1$ und $1$ .

$\int \frac{u^{2} + 1 u + 1 u + 1 \cdot 1}{u} d u$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $u$ mit $1$ .

$\int \frac{u^{2} + u + 1 u + 1 \cdot 1}{u} d u$

Schritt 6.3

Mutltipliziere $u$ mit $1$ .

$\int \frac{u^{2} + u + u + 1 \cdot 1}{u} d u$

Schritt 6.4

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$\int \frac{u^{2} + u + u + 1}{u} d u$

Schritt 7

Addiere $u$ und $u$ .

$\int \frac{u^{2} + 2 u + 1}{u} d u$

Schritt 8

Dividiere $u^{2} + 2 u + 1$ durch $u$ .

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Schritt 8.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$u$

$0$

$u^{2}$

$2 u$

$1$

Schritt 8.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $u^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $u$ .

					$u$
	$u$	+	$0$		$u^{2}$	+	$2 u$	+	$1$

Schritt 8.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$u$
$u$	+	$0$		$u^{2}$	+	$2 u$	+	$1$
			+	$u^{2}$	+	$0$

Schritt 8.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $u^{2} + 0$

				$u$
$u$	+	$0$		$u^{2}$	+	$2 u$	+	$1$
			-	$u^{2}$	-	$0$

Schritt 8.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$u$
$u$	+	$0$		$u^{2}$	+	$2 u$	+	$1$
			-	$u^{2}$	-	$0$
					+	$2 u$

Schritt 8.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$u$
$u$	+	$0$		$u^{2}$	+	$2 u$	+	$1$
			-	$u^{2}$	-	$0$
					+	$2 u$	+	$1$

Schritt 8.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $2 u$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $u$ .

				$u$	+	$2$
$u$	+	$0$		$u^{2}$	+	$2 u$	+	$1$
			-	$u^{2}$	-	$0$
					+	$2 u$	+	$1$

Schritt 8.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$u$	+	$2$
$u$	+	$0$		$u^{2}$	+	$2 u$	+	$1$
			-	$u^{2}$	-	$0$
					+	$2 u$	+	$1$
					+	$2 u$	+	$0$

Schritt 8.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $2 u + 0$

				$u$	+	$2$
$u$	+	$0$		$u^{2}$	+	$2 u$	+	$1$
			-	$u^{2}$	-	$0$
					+	$2 u$	+	$1$
					-	$2 u$	-	$0$

Schritt 8.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$u$	+	$2$
$u$	+	$0$		$u^{2}$	+	$2 u$	+	$1$
			-	$u^{2}$	-	$0$
					+	$2 u$	+	$1$
					-	$2 u$	-	$0$
							+	$1$

Schritt 8.11

Die endgültige Lösung ist der Quotient plus dem Rest geteilt durch den Divisor.

$\int u + 2 + \frac{1}{u} d u$

Schritt 9

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int u d u + \int 2 d u + \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 10

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u$ nach $u$ gleich $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{2} + C + \int 2 d u + \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 11

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{2} u^{2} + C + 2 u + C + \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 12

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} u^{2} + C + 2 u + C + \ln (| u |) + C$

Schritt 13

Vereinfache.

$\frac{1}{2} u^{2} + 2 u + \ln (| u |) + C$

Schritt 14

Ersetze alle $u$ durch $x - 1$ .

$\frac{1}{2} {(x - 1)}^{2} + 2 (x - 1) + \ln (| x - 1 |) + C$