Analysis Beispiele

$\int \frac{2 x + 1}{\sqrt{x + 4}} d x$

Schritt 1

Sei $u = x + 4$ . Dann ist $d u = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = x + 4$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $x + 4$ .

$\frac{d}{d x} [x + 4]$

Schritt 1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 1.1.4

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 1.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \frac{2 (u - 4) + 1}{\sqrt{u}} d u$

Schritt 2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u}$ als $u^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int \frac{2 (u - 4) + 1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Schritt 2.2

Bringe $u^{\frac{1}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int (2 (u - 4) + 1) {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Schritt 2.3

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (2 (u - 4) + 1) u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Schritt 2.3.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$\int (2 (u - 4) + 1) u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Schritt 2.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int (2 (u - 4) + 1) u^{- \frac{1}{2}} d u$

Schritt 3

Multipliziere $(2 (u - 4) + 1) u^{- \frac{1}{2}}$ aus.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\int (2 u + 2 \cdot - 4 + 1) u^{- \frac{1}{2}} d u$

Schritt 3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\int (2 u + 2 \cdot - 4) u^{- \frac{1}{2}} + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Schritt 3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\int 2 u \cdot u^{- \frac{1}{2}} + 2 \cdot - 4 u^{- \frac{1}{2}} + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Schritt 3.4

Potenziere $u$ mit $1$ .

$\int 2 (u^{1} u^{- \frac{1}{2}}) + 2 \cdot - 4 u^{- \frac{1}{2}} + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Schritt 3.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int 2 u^{1 - \frac{1}{2}} + 2 \cdot - 4 u^{- \frac{1}{2}} + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Schritt 3.6

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\int 2 u^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} + 2 \cdot - 4 u^{- \frac{1}{2}} + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Schritt 3.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\int 2 u^{\frac{2 - 1}{2}} + 2 \cdot - 4 u^{- \frac{1}{2}} + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Schritt 3.8

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$\int 2 u^{\frac{1}{2}} + 2 \cdot - 4 u^{- \frac{1}{2}} + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Schritt 3.9

Mutltipliziere $2$ mit $- 4$ .

$\int 2 u^{\frac{1}{2}} - 8 u^{- \frac{1}{2}} + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Schritt 3.10

Mutltipliziere $u^{- \frac{1}{2}}$ mit $1$ .

$\int 2 u^{\frac{1}{2}} - 8 u^{- \frac{1}{2}} + u^{- \frac{1}{2}} d u$

Schritt 3.11

Addiere $- 8 u^{- \frac{1}{2}}$ und $u^{- \frac{1}{2}}$ .

$\int 2 u^{\frac{1}{2}} - 7 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Schritt 4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int 2 u^{\frac{1}{2}} d u + \int - 7 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Schritt 5

Da $2$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 \int u^{\frac{1}{2}} d u + \int - 7 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{\frac{1}{2}}$ nach $u$ gleich $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$2 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C) + \int - 7 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Schritt 7

Da $- 7$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 7$ aus dem Integral.

$2 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C) - 7 \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Schritt 8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{- \frac{1}{2}}$ nach $u$ gleich $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$2 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C) - 7 (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Vereinfache.

$2 (\frac{2}{3}) u^{\frac{3}{2}} - 7 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$

Schritt 9.2

Schreibe $2 (\frac{2}{3}) u^{\frac{3}{2}} - 7 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$ als $\frac{4}{3} u^{\frac{3}{2}} - 7 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$ um.

$\frac{4}{3} u^{\frac{3}{2}} - 7 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$

Schritt 9.3

Mutltipliziere $- 7$ mit $2$ .

$\frac{4}{3} u^{\frac{3}{2}} - 14 u^{\frac{1}{2}} + C$

Schritt 10

Ersetze alle $u$ durch $x + 4$ .

$\frac{4}{3} {(x + 4)}^{\frac{3}{2}} - 14 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + C$