Analysis Beispiele

$\int 18 t^{2} {(t^{3} + 1)}^{5} d t$

Schritt 1

Sei $u = t^{3} + 1$ . Dann ist $d u = 3 t^{2} d t$ , folglich $\frac{1}{3 t^{2}} d u = d t$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = t^{3} + 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d t}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $t^{3} + 1$ .

$\frac{d}{d t} [t^{3} + 1]$

Schritt 1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $t^{3} + 1$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [1]$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 t^{2} + \frac{d}{d t} [1]$

Schritt 1.1.4

Da $1$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$3 t^{2} + 0$

Schritt 1.1.5

Addiere $3 t^{2}$ und $0$ .

$3 t^{2}$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int 6 u^{5} d u$

Schritt 2

Da $6$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $6$ aus dem Integral.

$6 \int u^{5} d u$

Schritt 3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{5}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{6} u^{6}$ .

$6 (\frac{1}{6} u^{6} + C)$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Schreibe $6 (\frac{1}{6} u^{6} + C)$ als $6 (\frac{1}{6}) u^{6} + C$ um.

$6 (\frac{1}{6}) u^{6} + C$

Schritt 4.2

Schreibe $6 (\frac{1}{6}) u^{6} + C$ als $1 u^{6} + C$ um.

$1 u^{6} + C$

Schritt 4.3

Mutltipliziere $u^{6}$ mit $1$ .

$u^{6} + C$

Schritt 5

Ersetze alle $u$ durch $t^{3} + 1$ .

${(t^{3} + 1)}^{6} + C$