Analysis Beispiele

$\int_{- \infty}^{0} \frac{1}{16 + x^{2}} d x$

Schritt 1

Das Integral konnte nicht mittels Substitution gelöst werden. Mathway wird eine andere Methode benutzen.

Schritt 2

Schreibe das Integral als Grenzwert, wenn sich $t$ an $- \infty$ annähert.

$lim_{t \to - \infty} \int_{t}^{0} \frac{1}{16 + x^{2}} d x$

Schritt 3

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$lim_{t \to - \infty} \int_{t}^{0} \frac{1}{4^{2} + x^{2}} d x$

Schritt 4

Das Integral von $\frac{1}{4^{2} + x^{2}}$ nach $x$ ist $\frac{1}{4} \arctan (\frac{x}{4})]_{t}^{0}$ .

$lim_{t \to - \infty} \frac{1}{4} \arctan (\frac{x}{4})]_{t}^{0}$

Schritt 5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.1

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $\arctan (\frac{x}{4})$ .

$lim_{t \to - \infty} \frac{\arctan (\frac{x}{4})}{4}]_{t}^{0}$

Schritt 5.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Berechne $\frac{\arctan (\frac{x}{4})}{4}$ bei $0$ und $t$ .

$lim_{t \to - \infty} (\frac{\arctan (\frac{0}{4})}{4}) - \frac{\arctan (\frac{t}{4})}{4}$

Schritt 5.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $4$ .

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Schritt 5.2.2.1

Faktorisiere $4$ aus $0$ heraus.

$lim_{t \to - \infty} \frac{\arctan (\frac{4 (0)}{4})}{4} - \frac{\arctan (\frac{t}{4})}{4}$

Schritt 5.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.2.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$lim_{t \to - \infty} \frac{\arctan (\frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1})}{4} - \frac{\arctan (\frac{t}{4})}{4}$

Schritt 5.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{t \to - \infty} \frac{\arctan (\frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1})}{4} - \frac{\arctan (\frac{t}{4})}{4}$

Schritt 5.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$lim_{t \to - \infty} \frac{\arctan (\frac{0}{1})}{4} - \frac{\arctan (\frac{t}{4})}{4}$

Schritt 5.2.2.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$lim_{t \to - \infty} \frac{\arctan (0)}{4} - \frac{\arctan (\frac{t}{4})}{4}$

Schritt 6

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 6.1

Vereinige Brüche unter Anwendung eines gemeinsamen Nenners.

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Schritt 6.1.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$lim_{t \to - \infty} \frac{\arctan (0) - \arctan (\frac{t}{4})}{4}$

Schritt 6.1.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.2.1

Der genau Wert von $\arctan (0)$ ist $0$ .

$lim_{t \to - \infty} \frac{0 - \arctan (\frac{t}{4})}{4}$

Schritt 6.1.2.2

Subtrahiere $\arctan (\frac{t}{4})$ von $0$ .

$lim_{t \to - \infty} \frac{- \arctan (\frac{t}{4})}{4}$

Schritt 6.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$lim_{t \to - \infty} - \frac{\arctan (\frac{t}{4})}{4}$

Schritt 6.2

Ziehe den Term $- 1$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $t$ ist.

$- lim_{t \to - \infty} \frac{\arctan (\frac{t}{4})}{4}$

Schritt 6.3

Ziehe den Term $\frac{1}{4}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $t$ ist.

$- \frac{1}{4} lim_{t \to - \infty} \arctan (\frac{t}{4})$

Schritt 6.4

Der Grenzwert im negativ Unendlichen eines Polynoms ungeraden Grades, dessen Leitkoeffizient positiv ist, ist minus unendlich.

$- \frac{1}{4} - \infty$

Schritt 6.5

Ersetze $t$ für $\frac{t}{4}$ und lasse $t$ sich $- \infty$ nähern solange $lim_{t \to - \infty} \frac{t}{4} = - \infty$ .

$- \frac{1}{4} lim_{t \to - \infty} \arctan (t)$

Schritt 6.6

Der Grenzwert, wenn $t$ sich $- \infty$ nähert, ist $- \frac{π}{2}$ .

$- \frac{1}{4} \cdot - 1 \frac{π}{2}$

Schritt 6.7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 6.7.1

Multipliziere $- \frac{1}{4} \cdot - 1$ .

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Schritt 6.7.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 (\frac{1}{4}) \frac{π}{2}$

Schritt 6.7.1.2

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{π}{2}$

Schritt 6.7.2

Multipliziere $\frac{1}{4} \cdot \frac{π}{2}$ .

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Schritt 6.7.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $\frac{π}{2}$ .

$\frac{π}{4 \cdot 2}$

Schritt 6.7.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$\frac{π}{8}$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{π}{8}$

Dezimalform:

$0.39269908 \dots$