Analysis Beispiele

$\int \frac{4 x}{2 x^{2} + 6} d x$

Schritt 1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2 x^{2} + 6$ .

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Schritt 1.1

Faktorisiere $2$ aus $4 x$ heraus.

$\int \frac{2 (2 x)}{2 x^{2} + 6} d x$

Schritt 1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2}$ heraus.

$\int \frac{2 (2 x)}{2 (x^{2}) + 6} d x$

Schritt 1.2.2

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\int \frac{2 (2 x)}{2 x^{2} + 2 \cdot 3} d x$

Schritt 1.2.3

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2} + 2 \cdot 3$ heraus.

$\int \frac{2 (2 x)}{2 (x^{2} + 3)} d x$

Schritt 1.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int \frac{2 (2 x)}{2 (x^{2} + 3)} d x$

Schritt 1.2.5

Forme den Ausdruck um.

$\int \frac{2 x}{x^{2} + 3} d x$

Schritt 2

Sei $u = x^{2} + 3$ . Dann ist $d u = 2 x d x$ , folglich $\frac{1}{2 x} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u = x^{2} + 3$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $x^{2} + 3$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 3]$

Schritt 2.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 2.1.4

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 x + 0$

Schritt 2.1.5

Addiere $2 x$ und $0$ .

$2 x$

Schritt 2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \frac{1}{u} d u$

Schritt 3

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C$

Schritt 4

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} + 3$ .

$\ln (| x^{2} + 3 |) + C$